Fractale de Newton

Fractale de Newton z³ -1 et les 3 bassins d'attraction des racines du polynôme (en couleur).

La fractale de Newton est un ensemble frontière défini dans le plan complexe caractérisé par l’application de la méthode de Newton à un polynôme $\textstyle {p(z),z\in \mathbb {C} .}$

Définition

La fractale de Newton est l’ensemble de Julia d’une fonction méromorphe $z\mapsto z-{\tfrac {p(z)}{p'(z)}}$ qui est donnée par la méthode de Newton. Lorsqu’il n'y a pas de cycles attractifs, il divise le plan complexe en régions G_k, chacune d’elles associée à chaque racine de ce polynôme.

La fractale de Newton classique est ainsi associée au polynôme z³ -1 et divise le plan en trois régions associées à ses trois racines : ${1,-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {i} }$ et ${-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {i} }$.

Construction

De nombreux points du plan complexe sont associés à chaque racine de la manière suivante :

Un point z₀ du plan complexe est choisi comme point de départ. On applique la méthode itérative de Newton :

$z_{n+1}=z_{n}-{\frac {p(z_{n})}{p'(z_{n})}}.$

En particulier, la fractale de Newton classique s'obtient en itérant :

$z_{n+1}=z_{n}-{\frac {z_{n}^{3}-1}{3z_{n}^{2}}}={\frac {2z_{n}^{3}+1}{3z_{n}^{2}}}.$

Cette règle mène à une suite de points z₁, z₂ , etc. Si la suite converge vers la racine R_k du polynôme, alors z₀ appartient à la région G_k. Cette région est aussi appelée « bassin d'attraction de la racine R_k ».

Toutefois, pour tout polynôme de degré égal au moins à 2, il existe des points pour lesquels la suite de Newton ne converge pas, c’est le cas de la frontière des bassins d’attraction de chaque racine.

Structure fractale

La fractale de Newton présente, à l’instar de toute fractale, une apparence complexe, malgré une description simple, et des auto-similarités visibles à toutes échelles (voir zoom successifs ci-dessous).

• 
  Newton z³ -1.
• 
  1^er zoom.
• 
  2^e zoom.

Elle suggère également que la méthode de Newton peut être très sensible aux conditions initiales et que deux points initiaux infiniment proches peuvent converger vers des racines différentes.

Elle montre, enfin, que chaque point de la fractale de Newton est un point-frontière multiple, séparant chacun des n bassins d'attraction. Si deux points infiniment proches convergent vers deux racines distinctes, alors il existe un troisième point, infiniment proche également, qui converge vers la troisième racine. Voir l'article sur les lacs de Wada.

Généralisation

Une généralisation de l’itération de Newton est :

$z_{n+1}=z_{n}-a{\frac {p(z_{n})}{p'(z_{n})}}$

où a est un nombre complexe. Le cas particulier a = 1 correspond à la fractale de Newton classique.

Les points fixes de cette transformation sont stables si a appartient au disque centré en 1 de rayon 1. Hors de ce disque les points fixes sont localement instables, toutefois la transformation présente une structure fractale au sens de l’ensemble de Julia. Si p est un polynôme de degré n, alors la suite z_n est bornée tant que a reste dans le disque de rayon n centré en n.

Autres méthodes

En analyse numérique, nombre de méthodes de résolution d'équation existent.

Les fractales associées partagent des caractéristiques communes avec la fractale de Newton : la frontière triple, des auto-similarités à toutes les échelles, et trois bassins d'attraction non connexes (en couleur). Selon les conditions initiales choisies, la méthode de la sécante crée des zones de non-convergence.

Voir les exemples ci-dessous, appliqués à la fonction polynomiale z³ -1 :

Méthode	Formule	Convergence	Illustration	Remarques
Méthode de la sécante	${z_{n+1}=z_{n}-{\frac {z_{n}-z_{n-1}}{p(z_{n})-p(z_{n-1})}}p(z_{n}).}$	1,618		La méthode de la sécante permet de s'affranchir du calcul de la dérivée en approximant la dérivée $p'(z_{n})$ par $\textstyle {\frac {p(z_{n})-p(z_{n-1})}{z_{n}-z_{n-1}}}$. Dans l'illustration on a posé $z_{-1}$ proche de $z_{0}$.
Méthode de Newton	${z_{n+1}=z_{n}-{\frac {p(z_{n})}{p'(z_{n})}}}$	quadratique
Méthode de Householder	${z_{n+1}=z_{n}-{\frac {p(z_{n})}{p'(z_{n})}}\times (1+h_{n})}$ avec ${h_{n}={\frac {p(z_{n})p''(z_{n})}{2p'(z_{n})^{2}}}}$	cubique		Les méthodes de Householder généralisent les méthodes de Newton et de Halley.
Méthode de Halley	${z_{n+1}=z_{n}-{\frac {2p(z_{n})p'(z_{n})}{2{[p'(z_{n})]}^{2}-p(z_{n})p''(z_{n})}}}$	cubique

• Fractales de Newton
• 
  Fractale de Newton pour le polynôme p(z) = z³ -1, coloré en fonction du nombre d’itérations de convergence.
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  Fractale de Newton pour le polynôme p(z) = z³ -1, colorée par racine atteinte.
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  Fractale de Newton pour le polynôme p(z) = z⁵ -1, colorée par racine atteinte.
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  Fractale de Newton pour p(z) = z³ - 2z + 2. Les points en rouge n’atteignent aucune racine.
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  Fractale de Newton pour p(z) = z⁵ - 3iz³ -(5+2i)z² + 3z + 1, coloré par racine atteinte.
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  Fractale de Newton pour p(z) = z³ - 2z + 2. Les points en rouge n’atteignent aucune racine.
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  Fractale de Newton pour un polynôme du 7^e degré, coloré par racine atteinte nuancé en fonction du nombre d’itérations de convergence.
• 
  Une autre fractale de Newton pour sin(x).
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  $p(z)=z^{6}+z^{3}-1$.
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  $p(z)=\sin(z)-1$.
• 
  $p(z)=\cosh(z)-1$.

Voir aussi

• Fractale
• Ensemble de Julia
• Ensemble de Mandelbrot
• Liste de fractales

Références

• How to Find All Roots of Complex Polynomials by Newton's Method par J. H. Hubbard, D. Schleicher, S. Sutherland, Inventiones Mathematicae vol. 146 (2001) – Avec une discussion sur la structure globale des fractals de Newton.
• On the Number of Iterations for Newton's Method par Dierk Schleicher, 21 juillet 2000
• Newton's Method as a Dynamical System par Johannes Rueckert
• La méthode de Newton et son fractal Une approche didactique, par Tan Lei (CNRS).