Méthode de Halley

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En analyse numérique, la méthode de Halley est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. C2).

L'algorithme est itératif et de convergence cubique.

Il doit son nom à son inventeur, l'astronome Edmund Halley.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction C² et a un zéro de f. La méthode de Halley consiste à itérer

x_{n+1} = x_n - \frac {2 f(x_n) f'(x_n)} {2 {[f'(x_n)]}^2 - f(x_n) f''(x_n)}

à partir d'une valeur x0 proche de a.

Au voisinage de a, la suite vérifie :

|x_{n+1} - a| < K |x_n - a|^3,

avec K > 0  ; ce qui signifie que la convergence est donc (au pire) cubique.

Déduction[modifier | modifier le code]

La formule se déduit par exemple de la méthode de Newton appliquée à la fonction g = f/\sqrt{f'} :

x_{n+1} = x_n - \frac {g(x_n)} {g'(x_n)},

avec

g'(x) = \frac {2 {[f'(x)]}^2 - f(x) f''(x)} {2 f'(x) \sqrt{f'(x)}},

d'où le résultat. Si f′(c) = 0, cela ne s'applique que si g peut être prolongée en c.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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