Suite généralisée

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En mathématiques, la notion de suite généralisée, ou suite de Moore-Smith (en), étend celle de suite, en indexant les éléments d'une famille par des éléments d'un ensemble ordonné qui n'est plus nécessairement celui des entiers naturels.

Définition[modifier | modifier le code]

Pour tout ensemble X, une suite généralisée d'éléments de X est une famille d'éléments de X indexée par un ensemble ordonné filtrant A. Par filtrant (à droite) on entend que toute paire dans A possède un majorant dans A[1].

Notation[modifier | modifier le code]

Certains auteurs font le choix d'indexer les suites généralisées par des lettres grecques (x_\alpha), les suites ordinaires étant indexées de lettres latines (x_n).

Notions topologiques[modifier | modifier le code]

Les notions usuelles de limite de suite et de suite de Cauchy s'étendent aux suites généralisées :

  • dans un espace topologique, on dit qu'une suite généralisée (x_\alpha) converge vers  x si pour tout voisinage U de x, il existe γ tel que pour tout α ≥ γ, l'élément x_\alpha appartienne à U ;
  • dans un espace uniforme, une suite généralisée (x_\alpha) est dite de Cauchy si pour tout entourage V, il existe γ tel que pour tous α, β ≥ γ, le couple (x_\alpha,x_\beta) appartienne à V.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. L. Kantorovitch et G. Akilov, Analyse fonctionnelle, tome 1, Éditions de Moscou, 1981, p. 14

Article connexe[modifier | modifier le code]

Sous-suite généralisée (en)