Appartenance (mathématiques)

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En mathématiques, l’appartenance est une relation non symétrique entre objets mathématiques et ensembles, ou plus généralement entre objets et classes. L'axiome d'extensionalité précise même que chaque ensemble est caractérisé par les objets qui lui appartiennent.

Suivant la notation introduite par Peano[1], on écrit xE le fait que l'objet x appartienne à l'ensemble E. On dit aussi dans ce cas que l'objet x est élément de l'ensemble E ou que l'ensemble E possède[2] l'objet x.

En théorie des ensembles usuelle, l'axiome de fondation stipule que la relation d'appartenance est bien fondée, ce qui interdit notamment qu'un ensemble puisse être élément de lui-même (antiréflexivité). D'autres théories des ensembles requièrent au contraire l'axiome d'anti-fondation pour obtenir des hyperensembles (en) qui échappent à cette restriction.

L'appartenance n'est pas non plus transitive[3], contrairement à la relation d'inclusion.

Exposition naïve[modifier | modifier le code]

La définition historique donnée par Cantor en 1895[4] était la suivante :

« Un ensemble est une collection M d'objets issus de notre intuition ou de notre pensée (que nous appellerons éléments de M), considérée comme un tout. »

Cette définition un peu floue permet déjà de présenter une version intuitive de la théorie des ensembles. Voir les articles Ensemble et Théorie naïve des ensembles.

Par exemple, si M = {1,2,3}, 1, 2 et 3 sont les éléments de M.

On prendra garde à ne pas confondre « élément » et « sous-ensemble » ; dans l'exemple qui précède {1,2} et {3}, parmi d'autres, sont des sous-ensembles de M mais n'en sont pas des éléments[Note 1].

Exposition en logique formelle[modifier | modifier le code]

Les exposés contemporains de la théorie des ensembles la décrivent le plus souvent comme une théorie égalitaire du premier ordre comportant un seul symbole de prédicat (outre =) : le symbole de prédicat binaire \in[5].

Dans cette présentation des choses, la phrase « x est élément de M » n'est que la retranscription verbale de la formule :

x\in M.

Felix Hausdorff relève que cette approche ne constitue pas en soi une définition à partir d'un concept antérieur :

« on pourra objecter qu'on a défini idem per idem voire obscurum per obscurius. Il faut considérer qu'il n'y a pas là une définition mais un procédé d'exposition, une référence à un concept primitif familier à tous (...) » [Note 2]

Éléments d'ensembles, éléments de classes[modifier | modifier le code]

Dans l'expression

x\in M

la lettre M désigne souvent un ensemble. C'est notamment ce que suppose la présentation formelle donnée plus haut.

Une théorie trop naïve des ensembles conduisant à des paradoxes fameux, il est parfois utile de considérer une relation d'appartenance d'un élément x à un objet M qui n'est pas un ensemble mais une classe. C'est par exemple le cas en théorie des catégories ; dans ce contexte on appelle toutefois x un « objet » plutôt qu'un « élément ».

Dans le formalisme des classes de la théorie la plus couramment utilisée, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, les classes s'identifient à des prédicats unaires du langage. Dire que x est élément de la classe M correspondant au prédicat P, c'est simplement une autre façon de dire : « P(x) ».

Ur-elements[modifier | modifier le code]

Dans la théorie de Zermelo-Fraenkel, la plus couramment utilisée, les éléments sont eux-mêmes des ensembles. Dans d'autres versions de la théorie des ensembles, cela n'est pas vrai : certains objets, appelés « atomes », ou « ur-elements », sont susceptibles d'être éléments d'ensembles sans être eux-mêmes des ensembles.

Le terme « élément » peut dans ce cas désigner un objet admis dans le système mathématique de référence, même si cet objet n'est pas un ensemble : nombres, points, fonctions (ce sont des ensembles) dans les systèmes les plus usuels, mais même planètes, molécules ou grenouilles[6].

Éléments remarquables en algèbre[modifier | modifier le code]

Dans l'étude de structures algébriques, on est souvent amené à donner des noms particuliers à des éléments de représentants de la structure ayant des propriétés remarquables : on parle ainsi d'élément neutre, d'élément inversible, d'élément absorbant, etc...

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Du moins si on sait prouver que {1,2} ≠ 1, {1,2} ≠ 2, {1,2} ≠ 3,{3} ≠ 1, {3} ≠ 2 et {3} ≠ 3.
  2. Comme le fait remarquer dans son exposé de la théorie des ensembles ((en) Felix Hausdorff, Set theory, AMS Chelsea Publishing,‎ 1957 (rééd. 2000) (1937 pour l'édition allemande) (ISBN 0821838350), page 11.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Hans Freudenthal, « Notation mathématique », Dictionnaire des mathématiques – fondements, probabilités, applications, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998.
  2. Les verbes « contenir » ou « comprendre », eux-aussi parfois employés, présentent une ambiguïté car sont parfois aussi utilisés pour désigner la relation d'inclusion. Cette relation d'inclusion est, elle, définie à partir de la relation appartenance par : A est inclus dans B si et seulement si tous les éléments de A sont des éléments de B.
  3. Mais peut l'être évidemment sur une sous-classe d'ensembles, comme il en est sur la classe particulière, mais souvent considérée, des nombres ordinaux
  4. (de) Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Leipzig, Teubner,‎ 1894-1895, page 481 [Lire en ligne sur Gallica (page consultée le 14 avril 2009)]
  5. Voir René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles [détail des éditions], chapitre 7, p. 113-114 notamment
  6. Ces trois suggestions sont proposées par (en) Yiannis Moschovakis, Notes on set theory, Springer,‎ 2000 (ISBN 9780387287232) p. 29.