Discussion:Filtre (mathématiques)

Ne pourrait on pas expliquer en terme plus simple ce qu'est un filtre et les applications qu'ils ont. Cet article est incomprensible, meme à un etudiant qui a des bases de theories des ensembles... loic.

$E\in F\qquad (\iff F\neq \emptyset ~)$

ne serait-ce pas plutôt : $E\subset F\qquad (\iff F\neq \emptyset ~)$ ?

Non, F un filtre contient des sous ensembles de P (cf définition). On a donc bien : $E\in F$--Sebsheep (d) 10 octobre 2009 à 14:17 (CEST)

J'ai réorganiser quelque peu. Il faut appliquer la définition AU PIED DE LA LETTRE ! Il est en effet difficile de comprendre ce qu'est un filtre car c'est contraire à l'intuition initiale. La force des filtres est justement d'avoir su saisir l'essence des lmimites. Hélas, c'est un peu abstrait ... mais parfaitement compréhensible avec un peu d'effort.--Palustris (d) 15 novembre 2009 à 15:20 (CET)

Modif de "Espace complet, filtre de Cauchy"

Je trouve très à propos d'en parler dans cette page Filtre, mais sans aller jusqu'à faire un copier-coller du paragraphe correspondant de la page Espace uniforme. Je n'ai rien a priori contre les redondances dans Wikipédia, mais celle-ci me semble peu judicieuse. La notion de filtre de Cauchy (et a fortiori celle d'espace complet) nécessite d'avoir ingurgité (APRES cette page Filtre) le début de la page Espace Uniforme. Si j'étais novice sur ces deux sujets, je serais découragée par tant d'infos à la fois dans Filtre, mais stimulée par une incitation à visiter ENSUITE, éventuellement, Espace Uniforme. Si je connaissais déjà Filtre et si je cherchais Filtre de Cauchy sans savoir que ça se trouve là-bas, je n'aurais qu'à cliquer sur le lien. Cordialement,Anne Bauval (d) 18 novembre 2009 à 18:48 (CET)

Modification concernée par ce message : [1]

Il était inexact de parler de copier-coller : la version du 7 novembre de espace uniforme (d · h · j · ↵) ne contenait pratiquement aucune information sur les espaces complets. Ne s'agit-il pas plutôt d'un copier-coller de Filtre (mathématiques) (d · h · j · ↵) vers espace uniforme ? Dans ce cas, dans le respect de la GFDL, il faut l'indiquer en page de discussion de l'article espace uniforme, et j'invite très cordialement Anne Bauval à le faire. (Et je partage les raisons données par Anne ci-dessus.)

Au vu du contenu actuel, ne faudrait-il pas renommer cet article en filtre (topologie) ou Utilisation des filtres en topologies ? Le mot filtre admet une définition plus générale dans la théorie des ensembles partiellement ordonnés. Dans ce sens, le mot filtre est employé par exemple dans ensemble filtrant (d · h · j · ↵).

Nefbor Udofix  -  Poukram! 22 novembre 2009 à 19:59 (CET)

Petite mise au point : la situation est bien telle que je la décrivais. Pour se convaincre que les soupçons de Nefbor Udofix sont aberrants il suffit de jeter un oeil sur les historiques. Je les résume pour ceux qui n'ont pas le temps : jusqu'au 9/11/09 le paragraphe de Espace uniforme sur les complets était quasi-vide, le 14 et 15 je l'ai enrichi (Bourbaki en main), et le 18 Palustris a fait un "copier-coller" (je maintiens) de ce paragraphe vers Filtre (mathématique), que j'ai défait aussitôt en expliquant. Anne Bauval (d) 23 novembre 2009 à 11:13 (CET)

Il n'y avait aucun soupçon de ma part (soupçon de quoi?). Je posais seulement une question, qui pouvait jeter malencontreusement un soupçon, et à laquelle tu as très bien répondu. Je suis désolé de la mauvaise interprétation qui a pu être faite de mes propos. Nefbor Udofix  -  Poukram! 23 novembre 2009 à 17:15 (CET)

Je confirme : j'ai effectivement effectuer un copier-coller. Cela se justifiait de façon à ce qu'il aparaisse clairement dans l'article que toutes les notions séquentielles peuvent êttre remplacé par les filtres. Par contre, sur la forme, Anne Bauval le fait avec beaucoup plus de finesse et son apport est clairement positif.--Palustris (d) 23 novembre 2009 à 17:32 (CET)

Bibliographie : Nicolas Bourbaki

En bibliographie est indiqué la version de 2009 chez Springer. Je suppose que c'est la même que celle parue chez Hermann en 1971 , elle-même chapitre III des Eléments de mathématiques parus dans Revue Scientifique et industrielle.Mais alors elle a 10 chapitres et non 4.Titi2 (d) 28 juin 2010 à 15:50 (CEST)

Je ne sais plus comment j'ai découvert ça (mais ça m'a pris des années ; je trouve que ça devrait être mis bien plus en évidence), c'est GÉ-NIAL : quand tu cliques sur un ISBN, tu tombes sur la page "Ouvrages de référence" où, dans le paragraphe "Distributeurs commerciaux et librairies en ligne francophones", le premier lien externe à droite est "books.google.fr" ; quand tu cliques dessus, paf ! tu tombes sur le bouquin (en l'occurrence, chapitres 1 à 4), et souvent même tu peux le consulter (partiellement) en ligne. Anne Bauval (d) 28 juin 2010 à 20:56 (CEST)

Merci Anne de faire partager ta GÉ-NIALE découverte.--Actorstudio (d) 30 juin 2010 à 19:23 (CEST)

A propos de la définition d'une base de filtre.

Dans le paragraphe définissant une base de filtre on lit "On dit que B est une base de filtre ssi l'ensemble F = ....". Je pense qu'il faut rectifier en ajoutant "ssi l'ensemble vide n'appartient pas à B et l'ensemble F = ...". Est-ce que me trompe ? Lanh 11/12/2010.

Oui : si vide appartient à B, l'ensemble F est confondu avec P(E), et n'est donc pas un filtre. D'ailleurs, les conditions données plus bas ne font qu'expliciter ce raisonnment, et montrent, par exemple, que vide ne doit pas non plus être élément de B. Mais, peut-être, une rédaction plus "pédagogique" de la définition ne ferait pas de mal...--Dfeldmann (d) 11 décembre 2010 à 11:27 (CET)

Pour l'implication (B est une base de filtre => F est un filtre) je suis d'accord que cela entraîne que l'ensemble vide n'appartient pas à B. C'est la réciproque qui me pose problème.--Lanh

?? Que veux-tu dire ? Si l'ensemble vide appartient à B, F n'est évidemment pas un filtre. On est d'accord. Si vide n'appartient pas à B, les autres conditions doivent cependant être vérifiées pour que F soit un filtre. Bref, peux-tu énoncer clairement cette réciproque problématique? --Dfeldmann (d) 11 décembre 2010 à 22:17 (CET)

Merci de t'intéresser à moi. Voici mon problème : Si F est un filtre et s'il existe un sous ensemble B de P(E) tel que pour tout A appartenant à F il existe b appartenant à B tel que b soit inclus dans A, pourquoi cela entraîne que b ≠ Ø ? J'ajoute que je ne suis pas du tout un spécialiste de ces questions, donc il y a quelque chose qui doit m'échapper.

Oh, ce n'est pas si mystérieux : ce n'est pas du tout ça que ça entraîne... Une base de filtre caractérise le filtre, autrement dit F doit être l'ensemble des A tels que..., et, bien sûr, le b garantit par l'énoncé doit donc être autre chose que l'ensemble vide.--Dfeldmann (d) 11 décembre 2010 à 23:00 (CET)

Je pense avoir compris (mais je reste prudent). Il faut commencer par définir axiomatiquement un filtre ${\mathcal {F}}$ et une base de fitre ${\mathcal {B}}$ sur un ensemble E indépendamment l'un de l'autre. Ensuite on peut démontrer qu'un sous ensemble non vide ${\mathcal {B}}$ de ${\mathcal {F}}$ (et non de ${\mathcal {P}}$(E)) est une base de filtre sur E si et seulement si pour tout élément $A\in {\mathcal {F}}$ il existe un élément $S\in {\mathcal {B}}$ tel que $S\subset A$.
Il ne faut pas prendre ${\mathcal {B}}$ inclus dans ${\mathcal {P}}$(E) mais bien restreindre l'inclusion à ${\mathcal {F}}$. Voici un contre exemple très simple. Soit E ={a, b, c}. Le sous ensemble de ${\mathcal {P}}$(E) : ${\mathcal {F}}$ = {{a, b}, {b}, {b, c}, E} est un filtre sur E. Le sous ensemble ${\mathcal {B}}$ ={{a}, {b}} de ${\mathcal {P}}$(E) vérifie bien la propriété : pour tout élément $A\in {\mathcal {F}}$ il existe un élément $S\in {\mathcal {B}}$ tel que $S\subset A$ (évidemment $S=${b}). Cependant ${\mathcal {B}}$ n'est pas une base de filtre de E. --Lanh (d) 12 décembre 2010 à 15:59 (CET)

non, c'est inutilement embrouillé. La définition donnée est correcte, au sens où B est une base ssi l'objet F construit comme expliqué est un filtre. Tout le reste (et en particulier se demander si un certain F' pourrait avoir les propriétés de F sans que B soit une base) est peut-être intéressant, mais hors-sujet...--Dfeldmann (d) 12 décembre 2010 à 19:05 (CET)

Voir l'ouvrage Topologie Générale N. Bourbaki. Chapitre 1 à 4, Filtres, Bases de filtre, Proposition 3 (page 38). Je vais d'ailleurs l'acheter.-- Lanh

Le fait que l'ensemble vide appartienne à un filtre ne pose pas de problème... tout dépend bien sûr de la définition que l'on donne à un filtre (la définition donnée ici correspond à ce que certains appellent un "filtre propre"). Pour ma part, je suis plutôt convaincu qu'il faille considérer l'ensemble des parties comme un filtre. Du coup la définition d'une base de filtre pourrait être : soit un ensemble de parties contenant l'ensemble vide, soit un ensemble possédant les propriétés énoncées. On peut aussi réserver la notion de base de filtre aux filtres propres (là aussi plutôt favorable à cette éventualité) --Fabrej0 (d) 15 janvier 2014 à 19:21 (CET)

Filtre et compacité

Bonjour,
Il manque à cet article la démonstration du théorème : "Soit X un espace topologique séparé. Pour que X soit compact il faut et il suffit que tout filtre sur X admette une valeur d'adhérence". Je propose donc d'ajouter cette démonstration mais je voudrais qu'elle soit auparavant vérifiée par des personnes compétentes :
a) On suppose que X est compact et qu'il existe un filtre ${\mathcal {F}}$ sur X n'admettant aucune adhérence : $\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {F}}}{\overline {A}}=\varnothing$. Par compacité de X on peut extraire de la famille de fermés $({\overline {A}})_{A\in {\mathcal {F}}}$ une famille finie $({\overline {A}}_{i})_{i\in J}$ telle que $\displaystyle \bigcap _{i\in J}{\overline {A}}_{i}=\varnothing$ ce qui entraîne $\bigcap _{i\in J}A_{i}=\varnothing$. Ceci est contraire à la définition d'un filtre d'où la contradiction.
b) On utilise ici la contraposée de la définition de Borel-Lebesgue : De toute famille de fermés d'intersection vide on peut extraire une famille finie d'intersection vide. On suppose que tout filtre sur X admet une valeur d'adhérence. Soit $(F_{i})_{i\in I}$ une famille de fermés de X pour laquelle il est impossible d'extraire une famille finie d'intersection vide : pour tout sous ensemble fini $J\subset I$ on a $\displaystyle \bigcap _{i\in J}F_{i}\neq \varnothing$. On note ${\mathcal {F}}$ le filtre engendré par $(F_{i})_{i\in I}$. Par hypothèse ${\mathcal {F}}$ admet une valeur d'adhérence : $\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {F}}}A\neq \varnothing$. L'inclusion $\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {F}}}A\subset \bigcap _{i\in I}F_{i}$ entraîne $\bigcap _{i\in I}F_{i}\neq \varnothing$. On a prouvé que $\bigcap _{i\in J}F_{i}\neq \varnothing \Rightarrow \bigcap _{i\in I}F_{i}\neq \varnothing$ ce qui exprime la compacité de X.
Remarques : La propriété de séparation n'est pas utilisée. Elle est nécessaire dans la définition française de la compacité.
Au b) je parle du filtre ${\mathcal {F}}$ engendré par la famille $(F_{i})_{i\in I}$. Je crois que cela nécessite quelques justifications.
Je doute que ce théorème soit fréquemment utilisé. Avant de poster cette démonstration je voudrais avoir l'opinion de spécialistes.
Lanh (d) 16 décembre 2010 à 14:23 (CET)

Bourbaki fait comme ça p. I.59, et prend même cette caractérisation des quasi-compacts comme définition. Wagschal (cf bibliographie) idem (déf 2.30.1 p. 167 et théo 2.30.1 p. 167-168). Je n'ai plus Skandalis sous la main, mais soucieux de pédagogie il prend probablement la définition plus connue avant de prouver l'équivalence. Les 3 se servent de cette caractérisation (ou plutôt de celle, équivalente, par les ultrafiltres) pour prouver le théorème de Tychonoff. C'est essentiellement à ça qu'elle sert. Olivier Brinon en fait autant. A mon avis tu peux très bien mettre ta preuve, soit ici, soit dans Tychonoff, soit dans compacité, avec des liens vers ta cible dans les 2 autres. Si tu veux détailler la justification pour le filtre engendré il suffit de dire que les intersections finies de F_i forment une base de filtre. Anne Bauval (d) 16 décembre 2010 à 18:41 (CET)

Merci de m'avoir donné ton avis. Je connais évidemment le nom de Bourbaki mais pas des autres et le théorème de Tychonoff ne me paraît pas simple du tout ! Oui, il faut effectivement remarquer que les intersections finies forment une base de filtre. Ce genre de réflexe me manque et j'ai vérifié fastidieusement tous les axiomes d'un filtre. Je vais faire tout ça et ma démonstration doit donc pouvoir être postée ici. Je le ferai dès que possible. Par ailleurs, il manque aussi un théorème intéressant : Soit X et Y deux espaces topologiques et une fonction f : X -> Y. Alors f est continue en un point x de X si et seulement si le filtre image f(${\mathcal {V}}_{x}$) converge vers f(x). Là encore, je doute qu'on utilise beaucoup les filtres pour démontrer une continuité ! J'ai essayé de le faire sur des cas très simples. Encore merci.

Lanh (d) 17 décembre 2010 à 00:12 (CET)

Je parlais juste des livres de Wagschal et Skandalis parce que je les connais mieux que les "grands classiques". Tychonoff n'est pas simple du tout sans les filtres, mais tu verras, avec, c'est "immédiat" ! La caractérisation de la continuité en terme de filtres n'est pas très dure (Bourbaki p. I.50 et précédentes) mais ne sert à rien. Anne Bauval (d) 17 décembre 2010 à 02:48 (CET)

OK, j'ai posté l'article en modifiant légèrement à propos de la base de filtre. S'il y a un souci (erreur de raisonnement ou coquille) signale le moi. Lanh (d) 17 décembre 2010 à 11:00 (CET)

Filtre image, limite d'une fonction

Bonjour,

Je ne veux pas être trop embêtant mais je propose maintenant de rajouter à cette partie peu étoffée un petit exemple que je soumets à votre sagacité en ce qui concerne son exactitude et sa pertinence pédagogique :

Soient E et F deux espaces topologiques, f: E -> F une fonction et $l\in F$. Alors f admet pour limite $l$ en $x_{0}\in E$ et on note $\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=l$ si et seulement si le filtre image $f({\mathcal {V}}_{x_{0}})$ du filtre des voisinages ${\mathcal {V}}_{x_{0}}$ de $x_{0}$ converge vers $l$.

Démonstration :

On a les équivalences successives :

$f({\mathcal {V}}_{x_{0}})$ converge vers $l$ $\Leftrightarrow$ ${\mathcal {V}}_{l}\subset f({\mathcal {V}}_{x_{0}})$ $\Leftrightarrow$ $(\forall V\in {\mathcal {P}}(E)(V\in {\mathcal {V}}_{l}\Rightarrow V\in f({\mathcal {V}}_{x_{0}}))$ $\Leftrightarrow$ $(\forall V\in {\mathcal {P}}(E)(V\in {\mathcal {V}}_{l}\Rightarrow \exists U\in {\mathcal {V}}_{x_{0}}\;f(U)\subset V)$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=l$.

On retrouve la continuité de f en $x_{0}$ lorsque $f(x_{0})=l$.

Voilà... Lanh (d) 17 décembre 2010 à 20:02 (CET)

Tu n'es pas du tout embêtant, et je partage ton enthousiasme, mais pour cette question-là, même réponse que pour la caractérisation de la continuité en terme de filtres : c'est fait dans Bourbaki, par pur souci d'exhaustivité je pense, mais ça ne sert à rien (voir aussi l'avis de Cartan). Anne Bauval (d) 17 décembre 2010 à 21:16 (CET)

Je vais donc suivre ton conseil. Je m'étais vite rendu compte qu'un tel outil était inutilisable pour démontrer en pratique une limite. J'ai lu le point de vue d'Henri Cartan en 1975 sur l'introduction de la notion de filtre sur un ensemble dans l'enseignement secondaire. Sidérant ! Je ne doute plus à présent que certaines personnes ont vécu autrefois sur des planètes extra galactiques. La définition de la continuité (donnée je crois par K. Weierstrass): "Quelque soit epsilon > 0, il existe eta > 0 etc..." n'est pas au programme des classes S de lycée, très peu d'élèves sont capables de la comprendre. Pour revenir à des choses sérieuses, on peut lire dans Bourbaki (peut-être H. Cartan en a été l'auteur ?) la définition d'un filtre que je cite : " On appelle filtre sur un ensemble X un ensemble F de parties de X qui possède les propriétés suivantes : (F1) Toute partie de X contenant un ensemble de F appartient à F. etc..." C'est le mot "ensemble de F" qui m'étonne car c'est un sous ensemble de X (donc effectivement un ensemble) mais par rapport à F c'est bien un élément et non un ensemble. Evidemment, la phrase se comprend. Encore merci. Lanh (d) 17 décembre 2010 à 22:52 (CET)

Définition filtre de Fréchet

Dans le texte, il est actuellement écrit: "Le filtre de Fréchet sur un ensemble infini E est l'ensemble des parties de E ayant un complémentaire fini dans E". Mais dans Laurent Schwartz, Analyse - Topologie générale et analyse fonctionnelle, p. 51, il est indiqué, comme exemples de filtres: "L'ensemble des complémentaires des parties finies d'un ensemble infini. Dans le cas où l'ensemble choisi est $\mathbb {N}$, ensemble des entiers positifs, ce filtre est appelé filtre de Fréchet.".

Dans un cas, donc, un filtre de Fréchet serait sur un ensemble infini quelconque, dans l'autre seulement sur $\mathbb {N}$.

Qui faut-il croire?

David Olivier (d) 17 mai 2011 à 13:36 (CEST)

Je me suis posé la même question il y a 6 jours et j'y ai répondu en sourçant les deux dans Filtre de Fréchet. Anne (discuter) 30 octobre 2013 à 22:58 (CET)

Filtres et suites généralisées

Il serait bien utile d'expliquer le lien entre filtres et suites généralisées (à la Moore-Smith). Je trouve l'utilisation de ces dernières très commmode et très intuitive, puisqu'elles s'utilisent comme des suites, mais sans dénombrabilité de l'ensemble des indices. Les deux formalismes sont strictement équivalents, au point que Schwartz, dans son livre sur la théorie des distributions, note et utilise les filtres comme des suites généralisées. Il y a un bon bouquin, très pédagogique, de Vo Khac Khoan sur les distributions, où il établit tous les résultats avec des suites généralisées. Les suites généralisées sont introduites dès les premières pages de la "bible" de Dunford et Schwartz "Linear Operators". Pour ma part, lorsqu'il m'arrive de travailler sur des espaces non métrisables, j'écris d'abord les démonstrations en utilisant des suites généralisées, quitte à les récrire ensuite dans le langage des filtres quand il faut faire "chic" (bien sûr, on n'y gagne rien, sinon à rendre les démonstrations plus difficiles à comprendre).--Otto Cyber (discuter) 19 juillet 2015 à 11:50 (CEST)

Trace d'un filtre

Je ne connais pas la définition de la trace d'un filtre, mais celle qui est donnée ne donne pas un filtre. Si le filtre initial contient une partie X de E disjointe de A, alors la trace du filtre contiendra l'ensemble vide. Or la définition d'un filtre dit qu'il ne peut pas contenir l'ensemble vide. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Bobouh (discuter), le 4/9/16 à 11 h 17‎.

C'est rectifié. Merci, Anne, 13 h 40

Question sur la remarque se trouvant dans la section "définition"

Bonjour,

Je viens de lire la définition d'un filtre et la remarque associée à la définition m'a pas mal étonné et je crains un imbroglio lié à des modifications successives par des contributeurs différents. Ci dessous une copie de la définition telle que je viens de la lire et de la remarque associée:

Soit E un ensemble, on appelle filtre sur E toute partie ℱ de P(E) (ensemble des parties de E) telle que :
# toute partie de E incluant un élément de ℱ est aussi un élément de ℱ ;
# toute intersection finie d'éléments de ℱ appartient à ℱ ;
# l'ensemble vide n'appartient pas à ℱ.
On peut remarquer que l'axiome 2 est équivalent à la conjonction des deux axiomes suivant :
* l'intersection de deux ensembles de ℱ appartient à ℱ ;
* E appartient à ℱ.

Je n'ai jamais touché au livre de la référence et je ne connais presque rien concernant la notion de filtre, mais à vue de nez, j'aurais plutôt tendance à dire cela:

• "l'intersection de deux ensembles de ℱ appartient à ℱ" est une proposition équivalente en soi au deuxième axiome.
• "E appartient à ℱ" est une conséquence du premier axiome seul et semble complétement indépendante du deuxième. On peut même ajouter que toute union d'éléments de ℱ appartient à ℱ.

Bon après je ne suis pas tout-à-fait sûr de mon coup, ma culture dans le domaine est encore faible, et quand je lis "un ensemble de ℱ", j'interprète par ce que mes usages me pousseraient plutôt à nommer "un élément de ℱ" (un machin qui appartient à l'ensemble ℱ, ce machin est donc une partie de E, d'où le fait qu'on se permet de le nommer ensemble) et il est complétement possible que je n'aie rien compris au film et qu'on parle d'autre chose.

--Un autre type (discuter) 13 janvier 2019 à 16:17 (CET)

Non, il n'y a pas d'erreur dans la définition, mais la remarque rappelle seulement (cf Bourbaki, Ens, le § qui va bien) que l'intersection d'une famille vide est l'ensemble E entier. Il serait plus simple de dire que ℱ est non vide, et alors l'axiome 2 pourrait être remplacé par l'intersection de deux ensembles. Après, le plus simple est de vérifier votre intuition sur les exemples de filtres proposés.--Dfeldmann (discuter) 13 janvier 2019 à 18:32 (CET)

Bonjour,

Un grand merci à Dfeldmann pour sa réponse et surtout à Anne Bauval pour ses ajouts, et notamment le lien sur le Bourbaki.

Remarque hors-sujet: Cette histoire d'intersection d'élément d'une famille libre est surprenante, mais souligne implicitement l'utilité d'écrire l'implication sous forme disjonctive. En ce qui me concerne, j'ai trouvé ça très formateur, bien que je préfère comme définition de l'intersection l'expression qu'on trouve ici, $\bigcap _{\tau \in I}{X_{\tau }}=\{x|\forall \tau (\tau \in I\leftrightarrow x\in X_{\tau })\}$ à l'expression présentée dans le livre: $\{x|\forall \tau (\tau \in I\rightarrow x\in X_{\tau })\}$, qui dans le cas où I est non vide me semble basée sur une propriété vérifiée par n'importe quel ensemble contenant le premier.

Passons mes problèmes concernant la définition de l'intersection, j'admets donc le résultat sans plus de discussion, et revenons au sujet: je dois reconnaître que je n'avais pas du tout envisagé que ℱ pouvait a priori être vide, ce qui implique que le premier axiome n'implique pas à lui seul que E appartienne nécessairement à ℱ. Donc, c'est clair, j'ai dit une connerie sur ce point.

Quoi qu'il en soit, je trouve encore la formulation de la remarque un peu gênante. Je veux dire par là, que l'équivalence entre le deuxième axiome et la proposition "l'intersection de deux éléments de ℱ appartient à ℱ" est indépendante des deux autres axiomes. Mais la proposition "E appartient à ℱ" n'est pas nécessairement vrai si on oublie le premier axiome axiome (je prend E composé de plusieurs éléments, je considère un élément $a\in E$ et ℱ ne contient que le singleton {a}, il est clair que ℱ vérifie le deuxième axiome mais pas le premier et il ne contient pas E).

Je suis bien conscient que c'est un poil iconoclaste (malvenu de la part d'un néophyte, mais j'ai déjà fait pire plus haut), mais en prenant en compte la dernière modification apportée par Anne Bauval, ne serait-il pas plus pédagogique proposer une modification dans ce goût-là? (j'adopte ses conventions, voir la section "Définition" dans la dernière version du 13 janvier 2019):

• Le deuxième axiome est équivalent à l'axiome 2.a
• En présence du premier axiome le deuxième axiome (ou 2.a) implique 2.b et, puisqu'on y tient, on peut donc ajouter que sous réserve du premier axiome, 2 est équivalent à la conjonction de 2.a et 2.b.

Encore merci pour vos réponses et modifications.

--Un autre type (discuter) 16 janvier 2019 à 11:52 (CET)

Mieux vaut s'en tenir à ce qui est juste et sourcé.

2 n'est pas équivalent à 2.a mais à 2.a + 2.b (et ce sans 1).

1 + 2.a n'implique pas 2.b.

Anne, 13 h 48

J'ai toujours du mal avec cette histoire de définition de l'intersection et d'intersection des éléments d'une famille vide, mais je vais admettre, ok.

--Un autre type (discuter) 16 janvier 2019 à 14:24 (CET)

Bof, en prenant les définitions à la lettre, c'est pas si sorcier : être dans l'intersection d'une famille (vide ou non), c'est être dans tous les éléments de la famille, ou plus précisément x est dans l'intersection s'il vérifie $\forall y,y\in F$ ⇒ $x\in y$ ; la condition $y\in F$ étant toujours fausse si F est vide, l'implication est toujours vraie (c'est une variante de "tous les éléments de l'ensemble vide sont des éléphants"). Après, c'est certainement pas intuitif, comme tout élève de prépa (version années 70) pourra te le certifier --Dfeldmann (discuter) 16 janvier 2019 à 14:34 (CET)

à Dfeldmann je viens de relire ma remarque et la définition du Bourbaki, j'ai bien en tête les règles de la logique du premier ordre et je ne crois pas avoir de problème particulier avec l'équivalence entre des formules du type $A\rightarrow B$ et $\neg A\lor B$ (j'ai même fait référence à une forme disjonctive de l'implication). Je viens de relire mes remarques et me suis rendu compte que ma mauvaise lecture n'était pas liée au cas où A serait toujours faux (pas de y dans F). Mais au contraire que si il y a au moins un élément y dans F, il faut que x appartienne à y, c'est pourtant le sens de la formule, mais le fait d'avoir commencé par le cas où F était vide m'a un peu fait bugguer (pour ne pas dire disjoncter, car ce serait ouvrir la porte aux adeptes de jeux de mots, qui risqueraient fort de me faire remarquer que j'ai assez mal disjoncté ).
Bon ben là-dessus, désolé et je vais arrêter de vous embêter. --Un autre type (discuter) 16 janvier 2019 à 18:49 (CET)