Prébase

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En mathématiques, plus précisément en topologie, une prébase A d'une topologie T sur un ensemble X est un ensemble de parties de X qui engendre T, c'est-à-dire tel que T soit la plus petite topologie sur X pour laquelle tous les éléments de A sont des ouverts.
Un ensemble de parties d'un ensemble X est donc toujours une prébase d'une certaine topologie sur X (celle qu'il engendre), ce qui est une différence avec la notion de base d'une topologie : un ensemble de parties de X n'est une base d'une certaine topologie que si l'intersection de deux éléments quelconques de cet ensemble en contient toujours un troisième. Toute prébase n'est donc pas toujours une base, mais il suffit de la clôturer par intersection finie pour obtenir la base correspondante (c'est-à-dire la base qui définit la même topologie). En revanche, toute base d'une certaine topologie est bien sûr également une prébase pour cette topologie.

Topologie engendrée[modifier | modifier le code]

Soient X un ensemble et A un ensemble de parties de X.

Il existe des topologies sur X qui contiennent A (ne serait-ce que la topologie discrète). Parmi elles, il en existe une « moins fine que » (i.e. « plus petite que », au sens : « incluse dans ») toutes les autres. En effet, toute intersection de topologies sur X est une topologie sur X ; il suffit donc de faire l'intersection de toutes les topologies sur X contenant A.

On l'appelle la topologie sur X engendrée par A .

On vient de la construire de l'extérieur. On peut aussi la construire « de l'intérieur », en deux étapes. Dans un premier temps, on complète A en formant l'ensemble B de toutes les intersections finies d'éléments de A (en convenant ici que l'intersection indexée par l'ensemble vide est X). Alors, B est la base d'une topologie, qui n'est autre que celle engendrée par A.

En clair, une partie de PX est ouverte pour la topologie engendrée par A si et seulement si P est réunion d'intersections finies d'éléments de A.

Prébase[modifier | modifier le code]

Soient X un ensemble, A un ensemble de parties de X, et T une topologie sur X.

On dit que A est une prébase de T si la topologie sur X engendrée par A est égale à T.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La caractérisation de la continuité d'une application f : XY (où X, Y désignent deux espaces topologique) se simplifie si l'on dispose d'une prébase A de la topologie sur Y (autrement dit : si la topologie sur Y est celle engendrée par A) :
f est alors continue si (et seulement si) pour tout élément U de la prébase A, f−1(U) est un ouvert de X.
  • Soit A une prébase de la topologie sur X. Pour tout point x de X, l'ensemble, noté Ax, des ouverts de A qui contiennent x, est une prébase de voisinages de x[1].
  • Théorème (d'Alexander) — Soit A une prébase d'un espace topologique X. Pour que X soit quasi-compact, il suffit que tout recouvrement de X par des ouverts de A possède un sous-recouvrement fini.
    (Lorsque A est une base, il est beaucoup plus facile de démontrer que cette condition est suffisante.)

Le théorème de Tykhonov se déduit immédiatement de celui d'Alexander[3].

Exemples[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) M. G. Murdeshwar, General Topology, New Age International,‎ 1990, 2e éd. (ISBN 978-8-12240246-9, lire en ligne), p. 104
  2. Murdeshwar 1990, p. 154
  3. Murdeshwar 1990, p. 155

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], chapitres 1 à 4