Empilement compact

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Empilement compact: Le moyen le plus efficace pour ranger des cercles de différentes tailles n'est pas si évident; comme nous pouvons le constater avec ces rondelles d'agrumes.

L'empilement compact est la manière d'agencer des sphères dans l'espace afin d'avoir la plus grande densité de sphères, sans que celles-ci ne se recouvrent.

C'est un problème que l'on se pose en général en géométrie euclidienne dans l'espace à trois dimensions, mais on peut aussi le généraliser au plan euclidien (les « sphères » étant alors des cercles), dans un espace euclidien à n dimensions (n > 3), avec des hypersphères, ou dans un espace non euclidien.

Arrangement compact de cercles dans un plan[modifier | modifier le code]

Un diagramme montrant un empilement compact de cercles, boules ou sphères dans un espace carré. L'agencement de base en dimension 2 est de forme hexagonale.
Arrangement en quinconce d'un plan compact.
Deux manières d'empiler trois plans compacts.

Sur un plan, on peut disposer au maximum six cercles de rayon r autour d'un cercle de même rayon. Les centres de trois cercles en contact définissent un triangle équilatéral puisqu'ils sont distants de 2r les uns des autres. Chaque angle valant 60° (π/3), on peut mettre ainsi 6 triangles avec un sommet en commun pour former un hexagone régulier.

On peut constater aisément que c'est l'organisation la plus compacte qui soit en rangeant des billes de même volume dans une enceinte de taille appropriée.

Carl Friedrich Gauss prouva qu'aucun arrangement régulier n'est plus dense. Tel n'est pas le cas lorsque les sphères n'ont pas la même taille (voir l'arrangement de rondelles d'agrumes).

La densité surfacique de cet arrangement est

d = \frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \simeq 0,906\,9.
Calcul
Considérons quatre cercles en contact deux à deux. Les centres de ces cercles forment un losange de côté 2r. On peut ainsi découper le plan en un pavage de losanges définissant un réseau.
Chaque losange comprend deux portions de disques de 2π/3 et deux portions de disques de π/3. La somme des aires de ces portions de disques est donc égale à la surface d'un disque, soit \pi r^2.
Le losange lui-même a pour aire 2 \sqrt{3} \cdot r^2. Les disques occupent donc une proportion de surface égale à
d = \frac{\pi \cdot r^2}{2 \sqrt{3} \cdot r^2}.

Empilement compact de sphères[modifier | modifier le code]

Empilement compact de 35 sphères.

Considérons trois sphères en contact sur un plan (plan A). On peut placer une quatrième sphère posée sur le creux entre les trois premières, les centres des sphères formant un tétraèdre régulier.

En positionnant ainsi des sphères dans les creux du plan compact A, on obtient un deuxième plan compact (plan B). Gauss montra que cette organisation était l'organisation régulière ayant la plus grande densité[a 1]. En 1611, Johannes Kepler conjectura que c'était l'arrangement spatial le plus compact. Cette conjecture est désormais[1] complètement prouvée, l'annonce en a été faite le 10 août 2014.

Lorsque l'on ajoute un troisième plan, on peut mettre les sphères soit en correspondance avec celles du premier plan (plan A), soit dans une troisième possibilité de placement définissant un nouveau plan compact (plan C).

Il existe ainsi trois types de plans compacts A, B et C qui peuvent en se combinant engendrer une infinité de types d'empilements compacts :

  • A-B-A-B… empilement dit « hexagonal compact » ;
  • A-B-C-A-B-C… empilement dit « cubique à faces centrées » ;
  • A-B-A-C-A-B-A-C… ;
  • A-B-C-B-A-B-C-B… ;

Quel que soit l'arrangement, chaque sphère est entourée de 12 autres sphères et la densité volumique vaut dans tous les cas :

d = \frac{\pi}{3 \sqrt{2}} \simeq 0,740\,48.
Calcul
Le calcul peut se faire de manière simple sur un empilement cubique à faces centrées et sur un empilement hexagonal compact (voir le lien externe pour le calcul de la compacité). Pour les autres empilements compacts, il suffit de découper la structure en groupes de trois plans pour se retrouver dans l'un des cas précités.

Dimensions plus élevées[modifier | modifier le code]

Agencement en dimension 3 : Schéma montrant un empilement compact de sphères dans un espace en prisme hexagonal.
Agencement en dimension 3 : Schéma montrant un empilement compact de sphères dans un espace cubique.

Dans les espaces euclidiens de dimension supérieure à 3, le problème d'empilement compact se généralise aux hypersphères. Les densités des arrangements réguliers les plus compacts sont connues jusqu'en dimension 8 et pour la dimension 24 (voir l'article constante d'Hermite).

Asymptotiquement, la densité d_n de l'arrangement le plus compact (régulier ou non) décroît exponentiellement en fonction de la dimension n. Il n'y a pas de raison de penser que les arrangements les plus denses soient réguliers en général. Néanmoins le meilleur encadrement connu sur d_n est le même dans les deux cas[a 2] :

2^{-n-o(n)} \leq d_n \leq 2^{-0.5990n+o(n)}.

Application en cristallographie[modifier | modifier le code]

En cristallographie, les atomes ou les ions peuvent s’organiser en couches compactes. C'est notamment le cas pour les structure métalliques, les cristaux n'étant formés que d'un seul type de particules. Si on les modélise par des sphères, l’empilement est compact lorsque les sphères sont en contact.

Les deux principaux types d'empilement compact sont :

Exemples :

La densité volumique porte le nom de compacité. Le taux de remplissage est d'environ 74 % (26 % de vide).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Empilement compact de Boulets de canons empilés sous les murs du fort Monroe à Hampton, en Virginie (USA)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/actu-la-conjecture-de-kepler-formellement-demontree-33280.php

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  1. Chapitre 1, p. 8
  2. Chapitre 1, p. 20