Compacité (cristallographie)

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En cristallographie, la compacité (ou taux de remplissage) d'un édifice cristallin, dans le modèle des sphères dures, est le rapport du volume total des sphères d'une maille à celui de la maille qui les contient. C'est le taux d'occupation réel de l'espace.

La compacité est donnée par $\frac{V_ts}{V_m}$

Exemple de calcul de compacité

Dans le cas d'un réseau cubique centré, par exemple, les sphères sont situées sur chacun des sommets du cube plus une au centre. On a donc huit fois un huitième de sphère (étant donné qu'un sommet est partagé entre huit cubes) plus une sphère complète. Le volume total des sphères est donc égal au volume de deux sphères, soit $V_ts=2\cdot \frac43 \pi R^3$, où $R$ est le rayon.

Le volume de la maille est donné par $V_m=a^3$, où $a$ est l'arrête du cube.

R vaut $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ d'où l'on tire que $a=\frac{4R}{\sqrt{3}}$.

La compacité du réseau cubique centré vaut donc $\frac{V_ts}{V_m}=\frac{2\cdot \frac43 \pi R^3}{\left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right)^3}=\frac{2\cdot \frac43 \pi \cdot R^3}{\frac{64}{3\sqrt{3}}\cdot R^3}=68%$

Empilement compact ou non

Dans un empilement compact, par définition, la compacité est maximale et égale à $\frac{\pi}{3 \sqrt{2}}$. Il existe un lien direct entre la compacité d'un cristal et sa masse volumique, donc sa densité.

On peut calculer la compacité dans des cas simples, comme les deux cas d'empilements compacts que sont les réseaux hexagonal compact et cubique à faces centrées. Dans les deux cas, la compacité vaut 74 %. Pour une structure diamant la compacité vaut 34 %.

Voir aussi

• (fr) Calculs de compacité.