Compacité (cristallographie)

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En cristallographie, la compacité (ou taux de remplissage) d'un édifice cristallin, dans le modèle des sphères dures, est le rapport du volume total des sphères d'une maille à celui de la maille qui les contient. C'est le taux d'occupation réel de l'espace.

La compacité est donnée par \frac{V_ts}{V_m}

Exemples de compacités[modifier | modifier le code]

Ci-dessous une liste des certains systèmes cristallins avec leur compacité :

La plupart des métaux cristallisent selon une structure hexagonale, cubique centrée ou cubique à faces centrées[2].

Système cubique centré[modifier | modifier le code]

Dans le cas d'un réseau cubique centré, par exemple, les sphères sont situées sur un seul des sommets du cube plus un au centre. On a donc huit fois un huitième de sphère (étant donné qu'un sommet est partagé entre huit cubes) plus une sphère complète. Le volume total des sphères est donc égal au volume de deux sphères, soit V_ts=2\cdot \frac43 \pi R^3, où R est le rayon de la sphère (donc le rayon atomique).

Le volume de la maille est donné par V_m=a^3, où a est l'arrête du cube.

Les sphères sont en contact selon la grande diagonale du cube (les atomes aux coins ne se tant pas) ; cette grande diagonale vaut a\sqrt{3}, et équivaut à quatre fois le rayon (4R) des sphères (une fois le rayon pour la sphère d'un des coins, deux fois le rayon pour la sphère centrale et un dernier rayon pour la sphère du coin opposé) : 4R = a\sqrt{3}. On en déduit donc que a=\frac{4R}{\sqrt{3}}.

La compacité du réseau cubique centré vaut donc \frac{V_ts}{V_m}=\frac{2\cdot \frac43 \pi R^3}{\left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right)^3}=\frac{2\cdot \frac43 \pi \cdot R^3}{\frac{64}{3\sqrt{3}}\cdot R^3}=68%

Empilement compact ou non[modifier | modifier le code]

Dans un empilement compact, par définition, la compacité est maximale et égale à \frac{\pi}{3 \sqrt{2}}. Il existe un lien direct entre la compacité d'un cristal et sa masse volumique, donc sa densité.

On peut calculer la compacité dans des cas simples, comme les deux cas d'empilements compacts que sont les réseaux hexagonal compact et cubique à faces centrées. Dans les deux cas, la compacité vaut 74 %. Pour une structure diamant la compacité vaut 34 %.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c et d (en) Arthur B. [et al.] Ellis, Teaching general chemistry : a materials science companion, Washington, American Chemical Soceity,‎ 1995 (ISBN 084122725X)
  2. (en) Lesley E. Smart; Elaine A. Moore, Solid state chemistry : an introduction, Boca Raton, Fla. [u.a.], Taylor & Francis, CRC,‎ 2005 (ISBN 0748775161), p. 8

Voir aussi[modifier | modifier le code]