n-sphère

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Hypersphère dans l'espace euclidien de dimension 3, c'est la sphère au sens usuel

En géométrie, l'hypersphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension quelconque. Elle constitue un des exemples les plus simples de variété et la sphère de dimension n, ou n-sphère, est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien \scriptstyle\mathbb R^{n+1}, notée en général \scriptstyle\mathbb S^n.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient E espace euclidien de dimension n+1, A un point de E, et R un nombre réel strictement positif. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R l'ensemble des points M dont la distance à A vaut R.

Étant donné un repère affine orthonormé, quitte à effectuer une translation, ce qui ne change rien aux propriétés géométriques, il est possible de se ramener à une hypersphère centrée en l'origine, dont l'équation s'écrit alors

\sum_{i=1}^{n+1} x_i^2=R^2~.

Par exemple

  • pour le cas n=0, l'hypersphère est constituée de deux points d'abscisses respectives R et -R.
  • pour le cas n=1, l'hypersphère est un cercle
  • pour le cas n=2, l'hypersphère est une sphère au sens usuel

Propriétés[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Calcul du volume de l'hypersphère.

Volume[modifier | modifier le code]

Le volume (ou, plus précisément, la mesure de Lebesgue) de l'espace délimité par une hypersphère de dimension n-1 et de rayon R, qui est une boule euclidienne de dimension n, vaut :

V_n={\pi^{n/2}R^n\over\Gamma(n/2+1)}\ \ ,

\Gamma désigne la fonction gamma. En particulier, on a :

n pair n impair
V_n \frac{\pi^{\frac{n}{2}}R^n}{\left(\frac{n}{2}\right)!} 2^{(n+1)/2}\frac{\pi^{\frac{n-1}{2}}R^n}{1\cdot 3 \cdot \dots \cdot n}

Le tableau suivant donne les valeurs du volume des 8 premières boules de dimension n et de rayon 1 :

n Valeur du volume
exacte approchée
1 2 2
2 \pi 3,14159
3 \frac43\pi 4,18879
4 \frac12\pi^2 4,93480
5 \frac8{15}\pi^2 5,26379
6 \frac16\pi^3 5,16771
7 \frac{16}{105}\pi^3 4,72478
8 \frac1{24}\pi^4 4,05871

Le volume d'une telle boule est maximal pour n=5. Pour n>5, le volume est décroissant quand n augmente et sa limite à l'infini est nulle :

	\lim_{n \to \infty}V_n = 0~.

L'hypercube circonscrit à l'hypersphère unité possède des arêtes de longueur 2 et un volume 2n ; le rapport entre les volumes d'une boule et de l'hypercube inscrit est décroissant en fonction de n.

Aire[modifier | modifier le code]

L'aire de l'hypersphère de dimension n-1 et de rayon R peut être déterminée en prenant la dérivée par rapport au rayon R du volume Vn :

S_{n-1}=\frac{dV_n}{dR}=\frac{n V_n}R={2\pi^{n/2}R^{n-1}\over\Gamma(n/2)}~.

La n-sphère unité \scriptstyle\mathbb S^n a donc pour aire :

{2\pi^{(n+1)/2}\over\Gamma({n+1\over2})}~.

Le tableau suivant donne les valeurs de l'aire des 7 premières n-sphères de rayon 1 :

n Aire de \scriptstyle\mathbb S^n
exacte approchée
1 2\pi 6,28318
2 4\pi 12,56637
3 2\pi^2 19,73920
4 \frac{8}{3}\pi^2 26,31894
5 \pi^3 31,00627
6 \frac{16}{15}\pi^3 33,07336
7 \frac{1}{3}\pi^4 32,46969

L'aire de la n-sphère unité est maximale pour n=6. Pour n>6, l'aire est décroissante quand n augmente et sa limite à l'infini est nulle :

	\lim_{n \to \infty}S_n = 0.

Articles connexes[modifier | modifier le code]