Conjecture de Kepler

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La conjecture de Kepler est une conjecture formulée par le physicien, astronome et mathématicien Johannes Kepler en 1611. Cette conjecture énonce que, pour un empilement de sphères égales, en espace libre, la densité maximale est atteinte pour un empilement cubique à faces centrées. Cette densité vaut environ 74 % (\frac{\pi}{\sqrt{18}} \simeq 0.74048).

László Fejes Tóth démontre en 1953 que la conjecture de Kepler pouvait être réduite à un problème à un nombre fini de paramètres[1].

Empilement compact de 35 sphères.

Preuve par ordinateur[modifier | modifier le code]

En 1998, Thomas Hales a annoncé avoir démontré cette conjecture. Il réduit celle-ci à un nombre fini, mais élevé, de vérifications, qui ont été effectuées à l'aide de calculs par ordinateur. Les mathématiciens chargés de valider l'article de Hales ont affirmé être « certains à 99 % » que cette démonstration est valide[2]. Ils y ont consacré beaucoup plus de temps que pour un article habituel de mathématiques, et la publication de l'article de Hales sur le sujet a été acceptée, ce qui indique une confiance certaine dans sa correction. Cependant le fait que de nombreux cas soient vérifiés à l'aide de calcul par ordinateur, et de façon liée, la compréhension réduite des principes généraux qui gouvernent la preuve, font que le doute subsiste qu'une erreur de détail qui n'a pas été repérée puisse affecter l'ensemble de la démonstration[2] (contrairement à une démonstration mathématique plus usuelle quand elle est soigneusement relue, même si elle est très complexe comme celle du théorème de Fermat-Wiles[2]).

Pour cette raison, Hales a lancé le projet Flyspeck, visant à établir une preuve formelle de son théorème, qui puisse être validée à l'aide d'un assistant de preuve sur ordinateur, capable de vérifier que les étapes de la démonstration sont logiquement valides. Ce projet réunit des informaticiens et mathématiciens de plusieurs laboratoires.

En 2009, le prix Fulkerson lui a été attribué (conjointement à Samuel Ferguson, responsable des aspects calculatoires) pour cette démonstration, qui, bien que non encore validée par Flyspeck sous sa forme initiale, est désormais considérée par la communauté mathématique comme complète.

Problème voisin[modifier | modifier le code]

Le problème posé par Kepler se rapproche d'une autre question, surgie en 1690 d'une polémique entre Newton et Gregory : combien de sphères unités peut-on disposer autour d'une sphère centrale de même rayon ? Il est possible d'en disposer 12, mais la question est de savoir s'il est possible d'en disposer 13. Une réponse négative a été apportée en 1953 par Kurt Schütte et Bartel Leendert van der Waerden[3].

Note et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) L. Fejes Tóth, Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum, Berlin, Springer, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften » (no 65),‎ 1953 (présentation en ligne), lien Math Reviews
  2. a, b et c http://code.google.com/p/flyspeck/wiki/FlyspeckFactSheet
  3. Brian Hayes, Les grappes de sphères collantes, Pour la Science, no 427, (mai 2013), p. 64-71

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

    • (en) T. Aste and D. Weaire "The Pursuit of Perfect Packing" (Institute Of Physics Publishing London 2000) ISBN 0-7503-0648-3
    • (en) Thomas C. Hales, « A Proof of the Kepler Conjecture », dans Annals of Mathematics, 162 (2005), 1065–1185 pdf
    • (en) Thomas C. Hales (1999) Cannonballs and Honeycombs. An elementary exposition of the proof of the Kepler conjecture.
    • (en) G.G. Szpiro (2003) Kepler's Conjecture Wiley, John & Sons Inc. (ISBN 0-471-08601-0)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]