Ellipsoïde

En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de point à l'infini.

Ellipsoïde avec (a, b, c) = (4, 2, 1)

L'ellipsoïde admet un centre et au moins trois plans de symétrie. L'intersection d'un ellipsoïde avec un plan est une ellipse, un point ou l'ensemble vide.

Dans un repère bien choisi, son équation est de la forme

${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}-1=0$

où $a$, $b$ et $c$ sont des paramètres strictement positifs donnés, égaux aux longueurs des demi-axes de l'objet.

Dans le cas très particulier où $a = b = c$, la surface est une sphère de rayon $a$.

Dans le cas où seuls deux paramètres sont égaux, l'ellipsoïde peut être engendré par la rotation d'une ellipse autour d'un de ses axes. Il s'agit d'un ellipsoïde de révolution, parfois appelé sphéroïde, qu'on retrouve sous forme de miroirs elliptiques dans les projecteurs de cinéma, et de ballons de rugby. On montre aussi que cette surface est optimale pour les dirigeables.

L'équation d'un ellipsoïde imaginaire est de la forme

${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}+1=0$

L'équation genre ellipsoïde, cône imaginaire :

${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=0$

Cas particulier

Ellipsoïde de révolution

Article détaillé : Ellipsoïde de révolution.

Avec $a = b$, l'équation s'écrit :

$\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0$

On obtient un ellipsoïde de révolution d'axe Oz. En effet, les sections par les plans $z=k$ sont des cercles d'axe Oz.

La méridienne dans le plan xOz que l'on obtient en faisant $y=0$ est l'ellipse d'équation :

${x^2 \over a^2}+{z^2 \over c^2}-1=0$

On remarquera que l'on passe de l'équation de la méridienne à l'équation de la surface de révolution en remplaçant $x^2$ par :$x^2+y^2$

Volume

Le volume d'un ellipsoïde défini par l'équation ci-dessus est égal à :

$\frac{4}{3} \pi abc$

Exemples d'ellipsoïdes

• Ellipsoïde de Fresnel
• Ellipsoïde de Bessel

Annexes

Articles connexes

• Méthode de l'ellipsoïde
• Quadrique
• Sphéroïde