Ellipsoïde

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de point à l'infini.

Ellipsoïde avec (a, b, c) = (4, 2, 1)

L'ellipsoïde admet un centre et au moins trois plans de symétrie. L'intersection d'un ellipsoïde avec un plan est une ellipse, un point ou l'ensemble vide.

L'équation d'un ellipsoïde centré à l'origine d'un système cartésien et aligné avec les axes du repère est de la forme

{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1

a, b et c sont des paramètres strictement positifs donnés, égaux à la longueur des demi-axes de cet ellipsoïde.

Équations[modifier | modifier le code]

Équation généralisée[modifier | modifier le code]

Dans un repère cartésien en trois dimensions, l'équation d'une surface quadratique est

\mathbf{x}^{\operatorname T}A\,\mathbf{x}+B^{\operatorname T}\mathbf{x}+C = 0

où la matrice A est, par construction, une matrice symétrique réelle. D'après le théorème spectral, elle est diagonalisable et ses valeurs propres sont toutes réelles. Si ces trois valeurs propres sont strictement positives (ou strictement négatives), c'est-à-dire que A est de signature (3,0) (ou (0,3)), cette équation définit une quadratique type ellipsoïde. À condition éventuellement de changer tous les coefficients de l'équation par leur opposé, la matrice A est alors définie positive. Le déterminant de A n'étant pas nul, la quadratique possède un centre dont les coordonnées sont \mathbf{v} = -\frac{1}{2}\cdot A^{-1}\cdot B, et son équation s'écrit sous la forme :

\left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right)^{\operatorname T} A \left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right) = k

avec

k = \frac{1}{4}\cdot B^{\operatorname T}\cdot A^{\operatorname -1}\cdot B - C

Si k est strictement positif, l'ellipsoïde (centré en \mathbf{v} et arbitrairement orienté) est alors définit par l'ensemble des points \mathbf{x} vérifiant l'équation :

\left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right)^{\operatorname T} A_1 \left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right) = 1

A_1 est réelle, définie positive.

De plus, les vecteurs propres de A_1 définissent les axes de l'ellipsoïde et les valeurs propres de A_1 sont égales à l'inverse du carré des demi-axes (ie \frac{1}{a^2}, \frac{1}{b^2} et \frac{1}{c^2})[1]. Les valeurs singulières de A_1, étant égales aux valeurs propres, sont donc égales à l'inverse du carré des demi-axes.

Paramétrisation[modifier | modifier le code]

Un ellipsoïde peut être paramétré de différentes manières. Une des possibilités, en choisissant l'axe z, est la suivante :


\begin{cases}
x=a\cdot\cos\left(\theta\right)\cdot\cos\left(\phi\right)\\
y=b\cdot\cos\left(\theta\right)\cdot\sin\left(\phi\right)\\
z=c\cdot\sin\left(\theta\right)\\
\end{cases}

-{\pi}/{2}\leq\theta\leq+{\pi}/{2},
\qquad
-\pi\leq\phi\leq+\pi.\!\,\!

Les paramètres peuvent être vus comme des coordonnées sphériques. Pour un \theta constant, nous obtenons une ellipse qui est l'intersection de l'ellipsoïde et d'un plan z=k. Le paramètre \phi correspond alors à l'anomalie excentrique de cette ellipse. Il existe deux autres paramétrisations, chacune possédant sa propre interprétation. Seuls les ellipsoïdes de révolution possèdent une unique définition de la latitude réduite (en).

Espace projectif[modifier | modifier le code]

En géométrie projective[réf. nécessaire], l'équation d'un ellipsoïde imaginaire est de la forme

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+1=0

L'équation genre ellipsoïde, cône imaginaire :

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Ellipsoïde de révolution[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Ellipsoïde de révolution.

Dans le cas où seuls deux paramètres sont égaux, l'ellipsoïde peut être engendré par la rotation d'une ellipse autour d'un de ses axes. Il s'agit d'un ellipsoïde de révolution, parfois appelé sphéroïde, permettant d'obtenir les miroirs elliptiques des projecteurs de cinéma et les ballons de rugby. On montre aussi que cette surface est optimale pour les dirigeables.

En prenant a = b , l'équation s'écrit :

\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0

On obtient un ellipsoïde de révolution d'axe Oz. En effet, les sections par les plans z=k sont des cercles d'axe Oz.

La méridienne dans le plan xOz que l'on obtient avec y=0 est l'ellipse d'équation :

\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0

On remarque que l'on passe de l'équation de la méridienne à l'équation de la surface de révolution en remplaçant x^2 par x^2+y^2.

Sphère[modifier | modifier le code]

Dans le cas dégénéré où a = b = c, l'ellipsoïde est une sphère de rayon a.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Volume[modifier | modifier le code]

Le volume de l'espace délimité par un ellipsoïde est égal à :

V = \frac{4}{3}\cdot\pi\cdot a\cdot b\cdot c = \frac{4}{3}\pi\sqrt{\det\left(\left(A_1\right)^{-1}\right)}

On remarque que cette formule donne le volume d'une boule de rayon a dans le cas où les trois demi-axes sont de la même longueur.

Les volumes du plus grand parallélépipède rectangle inscrit et du plus petit parallélépipède rectangle circonscrit sont donnés par les formules suivantes :

V_{max} =\frac{8}{3\sqrt{3}}\cdot a\cdot b\cdot c et  \qquad V_{min} = 8\cdot a\cdot b\cdot c

Aire[modifier | modifier le code]

L'aire d'un ellipsoïde quelconque est donné par la formule[2],[3]


\mathcal{A}=2\pi c^2+ \frac{2\pi ab}{\sin\left(\phi\right)}\cdot
\left(E\left(\phi,k\right)\cdot\sin^2\left(\phi\right) + F\left(\phi,k\right)\cdot\cos^2\left(\phi\right)\right),
 
\cos\left(\phi\right) = \frac{c}{a}, \qquad
k^2 =\frac{a^2\cdot\left(b^2-c^2\right)}{b^2\cdot\left(a^2-c^2\right)}, \qquad
a\ge b \ge c,

et où F\left(\phi,k\right) et E\left(\phi,k\right) sont les intégrales elliptiques incomplètes de première et deuxième espèce respectivement[4]

Excentricité[modifier | modifier le code]

En considérant que a \ge b \ge c, l'excentricité d'un ellipsoïde est donnée par la formule suivante : e={{\sqrt{a^2-c^2}}\over{a}}, où :

  • a\,\! est la longueur du plus grand demi-axe.
  • c\,\! est la longueur du plus petit demi-axe.

Exemples[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. http://see.stanford.edu/materials/lsoeldsee263/15-symm.pdf
  2. F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, and C. W. Clark, editors, 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions (Cambridge University Press), disponible en ligne à l'adresse http://dlmf.nist.gov/19.33 (voir référence suivante).
  3. NIST (National Institute of Standards and Technology) at http://www.nist.gov
  4. http://dlmf.nist.gov/19.2