Ellipsoïde

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En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de point à l'infini.

Ellipsoïde avec (a, b, c) = (4, 2, 1)

L'ellipsoïde admet un centre et au moins trois plans de symétrie. L'intersection d'un ellipsoïde avec un plan est une ellipse, un point ou l'ensemble vide.

L'équation d'un ellipsoïde centré à l'origine d'un système cartésien et aligné avec les axes du repère est de la forme

{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1

a, b et c sont des paramètres strictement positifs donnés, égaux aux longueurs des demi-axes de cet ellispoïde.

Equations[modifier | modifier le code]

Équation généralisée[modifier | modifier le code]

Visualisation d'une décomposition en valeurs singulières (SVD) en deux dimensions à partir d'une matrice M de transvection. Premièrement, nous voyons un disque unitaire en bleu ainsi que les deux axes de la base canonique. Nous pouvons ensuite observer l'action de M, qui distord le disque en une ellipse. La SVD décompose M en trois transformations élémentaires : une rotation initiale V^*, une dilatation \Sigma selon les axes du repère, et une rotation finale U. Les longueurs des demi-axes de l'ellipse \sigma_1 et \sigma_2 sont les valeurs singulières de M, soit \Sigma_{1,1} et \Sigma_{2,2}.

Un ellipsoïde arbitrairement orienté et centré en \mathbf{v} est défini par les solutions \mathbf{x} de l'équation

\left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right)^\mathrm{T}\! A\, \left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right) = 1,

A est une matrice symétrique carrée réelle définie positive et \mathbf{x} et \mathbf{v} sont des vecteurs.

Cette équation peut se ré-écrire de la manière suivante :

\mathbf{x}^\mathrm{T}A\,\mathbf{x}+B^\mathrm{T}\mathbf{x}+C = 0

Les vecteurs propres de A définissent les axes de l'ellipsoïde et les valeurs propres de A sont égales à l'inverse du carré des demi-axes (ie : \frac{1}{a^2}, \frac{1}{b^2} et \frac{1}{c^2})[1]. Le théorème spectral indique que les matrices symétriques en dimension finie représentant les formes quadratiques (ce qui est le cas de la matrice A[réf. nécessaire]) sont diagonalisables dans les réels. Les valeurs singulières de M, étant égale aux valeurs propres, sont donc égales à l'inverse du carré des demi-axes.

Paramétrisation[modifier | modifier le code]

Un ellipsoïde peut être paramétré de différentes manières. Une des possibilité, où nous choisissons l'axe z, est la suivante :


\begin{cases}
x=a\cdot\cos\left(\theta\right)\cdot\cos\left(\phi\right)\\
y=b\cdot\cos\left(\theta\right)\cdot\sin\left(\phi\right)\\
z=c\cdot\sin\left(\theta\right)\\
\end{cases}

-{\pi}/{2}\leq\theta\leq+{\pi}/{2},
\qquad
-\pi\leq\phi\leq+\pi.\!\,\!

Les paramètres peuvent être vus comme des coordonnées sphériques. Pour un \theta constant, nous obtenons une ellipse qui est l'intersection de l'ellipsoïde et d'un plan z=k. Le paramètre \phi correspond alors à l'anomalie excentrique de cette ellipse. Il existe deux autres paramétrisations, chacune possédant sa propre interprétation. Seul les ellipsoïdes de révolution possèdent une unique définition de la latitude réduite (en).

Espace projectif[modifier | modifier le code]

En géométrie projective[réf. nécessaire], l'équation d'un ellipsoïde imaginaire est de la forme

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+1=0

L'équation genre ellipsoïde, cône imaginaire :

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Ellipsoïde de révolution[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Ellipsoïde de révolution.

Dans le cas où seuls deux paramètres sont égaux, l'ellipsoïde peut être engendré par la rotation d'une ellipse autour d'un de ses axes. Il s'agit d'un ellipsoïde de révolution, parfois appelé sphéroïde, qu'on retrouve sous forme de miroirs elliptiques dans les projecteurs de cinéma, et de ballons de rugby. On montre aussi que cette surface est optimale pour les dirigeables.

En prenant a = b , l'équation s'écrit :

\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0

On obtient un ellipsoïde de révolution d'axe Oz. En effet, les sections par les plans z=k sont des cercles d'axe Oz.

La méridienne dans le plan xOz que l'on obtient en faisant y=0 est l'ellipse d'équation :

\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0

On remarquera que l'on passe de l'équation de la méridienne à l'équation de la surface de révolution en remplaçant x^2 par : x^2+y^2

Sphère[modifier | modifier le code]

Dans le cas dégénéré où a = b = c, l'ellipsoïde est une sphère de rayon a.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Volume[modifier | modifier le code]

Le volume d'un ellipsoïde défini par l'équation ci-dessus est égal à :

V = \frac{4}{3}\cdot\pi\cdot a\cdot b\cdot c = \frac{4}{3}\pi\sqrt{\det\left(A^{-1}\right)}

On remarque que cette formule donne le volume d'une sphère de rayon a dans le cas où les trois demi-axes sont de la même longueur.

Le volume des parallélépipèdes rectangles inscrit et circonscrit est donné par les formules suivantes :

V_\min = 8\cdot a\cdot b\cdot c, \qquad V_\max =\frac{8}{3\sqrt{3}}\cdot a\cdot b\cdot c

Aire[modifier | modifier le code]

L'aire d'un ellispoïde quelconque est donné par la formule[2][3]


A=2\pi c^2+ \frac{2\pi ab}{\sin\left(\phi\right)}\cdot
\left(E\left(\phi,k\right)\cdot\sin^2\left(\phi\right) + F\left(\phi,k\right)\cdot\cos^2\left(\phi\right)\right),
 
\cos\left(\phi\right) = \frac{c}{a}, \qquad
k^2 =\frac{a^2\cdot\left(b^2-c^2\right)}{b^2\cdot\left(a^2-c^2\right)}, \qquad
a\ge b \ge c,

et où F\left(\phi,k\right) et E\left(\phi,k\right) sont les intégrale elliptique incomplète de première et deuxième espèce respectivement[4]

Excentricité[modifier | modifier le code]

En considérant que a \ge b \ge c, l'excentricité d'un ellipsoïde est donné par la formule suivante : e={{\sqrt{a^2-c^2}}\over{a}}, où :

  • a\,\! est la longueur du plus grand demi-axe.
  • c\,\! est la longueur du plus petit demi-axe.

Exemples[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. http://see.stanford.edu/materials/lsoeldsee263/15-symm.pdf
  2. F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, and C. W. Clark, editors, 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions (Cambridge University Press), disponible en ligne à l'adresse http://dlmf.nist.gov/19.33 (voir référence suivante).
  3. NIST (National Institute of Standards and Technology) at http://www.nist.gov
  4. http://dlmf.nist.gov/19.2