Théorie des bifurcations

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La théorie des bifurcations, en mathématiques et en physique est l'étude de certains aspects des systèmes dynamiques. Une bifurcation intervient lorsqu'un petit changement d'un paramètre physique produit un changement majeur dans l'organisation du système.

Exemple[modifier | modifier le code]

L'exemple classique d'une bifurcation est celui du flambage d'une poutre élastique (l'expérience peut être faite avec une règle d'écolier). Si on compresse la poutre légèrement, elle va rester droite. Tout à coup, au delà d'une limite bien définie, la poutre va se plier de plus en plus lorsqu'on augmente la force exercée. Il y a donc bifurcation, ou brisure de symétrie, où l'on passe de l'état "poutre droite" à l'état "poutre courbée", soit dans un sens, soit dans l'autre, avec une certaine probabilité (d'où l'idée de bifurcation). Avant la bifurcation, l'état "poutre droite" était stable, après la bifurcation, il devient instable.

Un autre exemple canonique est la température de Curie. Au delà d'une certaine température, un matériau perd son aimantation spontanée.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un système d'équations différentielles :

\dot x=f(x,\lambda)\quad f:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^n.

\lambda est ici le paramètre contrôlant la bifurcation (la force exercée dans l'exemple précédent). On dit qu'il y a bifurcation en \lambda_0 si, en une valeur de \lambda arbitrairement proche de \lambda_0 , il existe une dynamique topologiquement non-équivalente à celle en \lambda_0 .

Types de bifurcation[modifier | modifier le code]

La théorie des bifurcations consiste à classer les différents types de bifurcation en classes. Chaque classe correspond à une certaine symétrie dans le problème. Parmi les différents types de bifurcations, on trouve :

  • Les bifurcations « de fourche » (en anglais: « pitchfork »). Un équilibre stable se déstabilise en un équilibre instable, et deux équilibres stables sont créés. Cette transition peut se faire de façon supercritique (de façon continue et prévisible) ou sous-critique (discontinue, avec des phénomènes d'hystérèse)
  • Les bifurcations col-nœud (en anglais: « saddle-node »). Deux points d'équilibres existent (un stable et un instable) avant la bifurcation. Après la bifurcation, plus aucun équilibre n'existe.
  • Les bifurcations de Hopf. Ce sont des bifurcations oscillantes, comme l'attracteur de Lorenz.
  • Les bifurcations de dédoublement de période. Ce sont des bifurcations qui mènent à des comportements chaotiques. Elles peuvent par exemple s'obtenir en faisant rebondir une balle de ping-pong sur une surface oscillante, et en augmentant la fréquence d'oscillation.

Chacune de ces bifurcations est caractérisée par une forme normale, qui est l'équation générale typique de ce type de bifurcation. Par exemple, la forme normale d'une bifurcation pitchfork supercritique est :

Bifurcation supercritique, les lignes pleines représentent des équilibres stables, les lignes en pointillés les équilibres instables.

 \frac{dx}{dt}=rx-x^3. Pour des valeurs négatives de r, x=0 est la seule solution. Pour r>0, il y a deux solutions stables x = \pm\sqrt{r}.

Voir aussi[modifier | modifier le code]


Liens externes[modifier | modifier le code]

http://www.scholarpedia.org/article/Bifurcation http://www.biologie.ens.fr/eceem/Berder_2010/documents/Lobry.pdf