Discriminant

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Incidence du signe du discriminant sur les racines de l'équation du second degré à coefficients réels

En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de degré > 0 quelconque et dont les coefficients sont choisis dans des ensembles équipés d'une addition et d'une multiplication. Le discriminant apporte dans ce cadre une information sur l'existence ou l'absence de racine multiple.

Le discriminant est utilisé dans d'autres domaines que celui de l'étude des polynômes. Son usage permet de mieux comprendre les coniques et les quadriques en général. On le retrouve dans l'étude des formes quadratiques ou celle des corps de nombres dans le cadre de la théorie de Galois ou celle des nombres algébriques. Sa définition se fonde sur le calcul d'un déterminant.

Polynôme du second degré[modifier | modifier le code]

Résolution de l'équation à coefficients réels[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Équation du second degré.

Considérons une équation du second degré, ici a, b et c sont trois coefficients réels tel que a est différent de zéro :

ax^2 + bx + c = 0.

Discriminant de l'équation du deuxième degré —  Le discriminant de l'équation précédente est le nombre Δ défini par :

\Delta = b^2 - 4ac.

La connaissance du discriminant permet de résoudre l'équation :

Résolution de l'équation —  Si le discriminant est strictement positif, l'équation admet deux solutions x1 et x2 données par les formules suivantes :

x_1 = \frac {-b + \sqrt \Delta}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b - \sqrt \Delta}{2a}.

Si le discriminant est nul, l'équation admet une racine double :

ax^2 + bx + c =a\left(x + \frac b{2a}\right)^2 \quad \text{et}\quad x_1=x_2 = -\frac b{2a}.

Si le discriminant est strictement négatif, l'équation n'admet pas de solution réelle.

Résolution de l'équation à coefficients complexes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Racine d'un nombre complexe.

Si les coefficients a, b et c sont complexes ou si les solutions complexes de l'équation sont admises, la situation est un peu différente. Le théorème de d'Alembert-Gauss précise qu'il existe toujours au moins une solution à l'équation. Dans l'ensemble des complexes, un nombre admet toujours deux racines carrées, il existe une valeur δ tel que son carré δ2 soit égal à Δ :

Racines complexes —  Si le discriminant est non nul, l'équation admet deux solutions x1 et x2 données par les formules suivantes :

x_1 = \frac {-b + \delta}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b - \delta}{2a}.
Si le discriminant est nul, l'équation admet une racine double égale à :
\quad x_1=x_2 = -\frac b{2a}.
.

Discriminant réduit[modifier | modifier le code]

Si l'on écrit l'équation du second degré sous la forme

ax^2 + 2b'x + c = 0,

il devient plus simple d'utiliser une autre expression :

Discriminant réduit —  Le discriminant réduit de l'équation précédente est le nombre Δ' défini par :

\Delta' = b'^2 - ac.

L'expression des racines, si elles existent, devient :

x_1 = \frac {-b' + \delta'}{a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b' - \delta'}{a}\quad \text{avec}\quad \delta'^2 = \Delta' = b'^2 - ac.

Exemples[modifier | modifier le code]

Cherchons à résoudre l'équation suivante :

5x^2 - 5x + 1 = 0.

Le calcul du discriminant Δ et des racines x1 et x2 donne :

 \Delta = (-5)^2 -4\times 5\times 1=5\quad \text{et}\quad x_1 = \frac {5 + \sqrt 5}{10},\quad x_2 = \frac {5 - \sqrt 5}{10}.

Dans le cas de l'équation suivante, le discriminant réduit est nul et il n'existe qu'une racine, égale à –3.

x^2 + 6x + 9 = 0\quad\text{ : }\quad\Delta' = 3^2 -1 \times 9=0\quad\text{ ; comme}\quad x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\;\text{, on a  }\quad x_1 =  x_2 = -3.

Le dernier exemple décrit une situation où le discriminant est strictement négatif, ici égal à –3. On remarque de i3 est une racine carrée du discriminant, si i désigne l'unité imaginaire. Ceci permet de déterminer les solutions :

x^2 + x + 1 = 0\quad \Rightarrow \quad\Delta = 1^2 -4\times 1\times1=-3 \quad\text{et}\quad x_1 = - \frac12+{\rm i}\frac{\sqrt3}2,\quad x_1 = - \frac12-{\rm i}\frac{\sqrt3}2.

On peut remarquer que ces deux racines sont des racines de l'unité : elles ont pour cube (pour puissance troisième) le nombre 1. Le polynôme choisi est un cas particulier de polynôme cyclotomique.

Forme quadratique en dimension 2[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Forme quadratique.
Si le discriminant de la forme quadratique est négatif, l'ensemble des points de ℝ2 défini par φ(x, y) = a est une hyperbole. Si a est positif, on obtient une courbe analogue à celle en bleu, si a est négatif en vert. Si a est égal à zéro l'hyperbole est dégénérée, on obtient la figure rouge.

Sur l'ensemble des nombres réels, une forme quadratique φ en dimension 2 associe à deux variables x et y un nombre à l'aide de la formule suivante :

\varphi(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 \quad\text{avec}\quad a,b,c \in\R.

Une forme quadratique possède aussi une expression matricielle :

 \varphi(x,y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & \frac b2 \\ \frac b2 & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x  \\ y \end{pmatrix}.

Le déterminant de l'expression matricielle est égal à –(b2 – 4ac)/4 ; on retrouve une expression proche de la précédente. Un changement de base, à l'aide d'une matrice de passage P modifie la valeur du déterminant. Plus exactement la valeur dans la nouvelle base est égale à la valeur dans l'ancienne base que multiplie le carré du déterminant de P, le signe du déterminant reste invariant. Cette propriété est analysée dans l'article détaillé.

Pour cette raison, il existe trois définitions différentes du discriminant d'une forme quadratique en dimension deux. Le discriminant d'une forme quadratique dans une base B est le déterminant de la matrice associée à la forme quadratique dans la base B. L'analogie avec la situation précédente permet de définir le discriminant de la forme quadratique comme étant égal à b2 – 4ac. Enfin, comme le seul invariant associé au déterminant de la forme quadratique, le discriminant est aussi défini comme le signe du déterminant qui peut prendre les valeurs +1, 0 ou –1.

Le discriminant sépare les formes quadratiques en trois familles. En dimension deux, avec pour définition du discriminant la valeur du déterminant dans la base canonique, si le discriminant est de signe positif pour une valeur a donnée l'ensemble Ea des points (x, y) vérifiant φ(x, y) = a correspond à une ellipse ou à l'ensemble vide. Si le discriminant est nul, alors l'ensemble Ea correspond à une parabole. Si le discriminant est négatif, Ea est une hyperbole. Les formes quadratiques permettent ainsi d'obtenir les trois différentes formes de coniques.

Polynôme de degré quelconque[modifier | modifier le code]

L'extraction de racine d'un polynôme à l'aide du discriminant ne se généralise pas aux degrés supérieurs à deux. Le discriminant d'un polynôme garde néanmoins une utilité.

Dans le cas des équations de degré deux, le discriminant est nul si et seulement si le polynôme possède une racine multiple. L'existence de racine multiple peut avoir d'importantes conséquences. En algèbre linéaire, la présence de racine multiple dans le polynôme minimal d'un endomorphisme modifie sa nature. Cette présence interdit la diagonalisation. Sur les extensions des nombres rationnels, les polynômes irréductibles, c'est-à-dire qui ne sont pas factorisables, n'ont jamais de racine multiple (cf l'article Extension séparable), cette situation n'est pas vraie pour tous les corps. Dans le cadre de la théorie de Galois, cette distinction est importante, les résultats sont différents selon la configuration.

Définition et propriétés[modifier | modifier le code]

Article détaillé : résultant.

La généralisation du discriminant d'un polynôme de degré quelconque offre un outil permettant de déterminer si ses racines sont simples ou multiples. Dans ce paragraphe A désigne un anneau intègre et P un polynôme de degré n dont les coefficients appartiennent à A et sont notés de la manière suivante :

P = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0\;\text{et}\quad a_n \neq 0.

La dérivée formelle de P est notée P' , elle existe même si A est différent du corps des nombres réels ou complexes. Enfin R désigne le résultant ; c'est une application particulière qui à deux polynômes associe un élément de A.

  • Le discriminant de P, en général noté Δ(P), est la valeur définie par la formule suivante[1] lorsque deg(P' ) = n – 1 (ce qui est toujours le cas en caractéristique 0) :
\Delta(P) = \frac{(-1)^\frac{n(n-1)}2}{a_n}R(P,P').

Le coefficient de normalisation possède son importance ; un discriminant peut ainsi être également interprété comme un volume orienté. L'usage d'une telle approche devient évidente lors de l'analyse du discriminant d'une forme quadratique ou d'un anneau de Dedekind dans le cadre de la théorie algébrique des nombres.

Certains résultats de la théorie de Galois s'appliquent au discriminant, il faut alors étendre l'anneau A des coefficients. Comme A est commutatif unitaire intègre, il possède un corps des fractions F commutatif et P peut être considéré comme un polynôme à coefficients dans F. Ici K désigne le corps de décomposition de P, c'est-à-dire le plus petit corps contenant F et toutes les racines de P, à un isomorphisme près. Le discriminant possède la propriété suivante :

  • Le discriminant du polynôme P est non nul si et seulement si P n'admet aucune racine multiple.

La démonstration est une conséquence générale du résultant démontrée dans l'article détaillé. Si un polynôme n'admet aucune racine multiple, il est qualifié de séparable.

Il existe une formule différente permettant d'exprimer le discriminant, à l'aide des racines du polynôme :

  • Soit αi pour i variant de 1 à n, les racines du polynôme P, le discriminant vérifie l'égalité suivante :
\Delta(P)=a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(\alpha_i-\alpha_j)^2}.

Cette propriété démontre la précédente ; elle dérive d'une caractéristique du résultant de deux polynômes : il est nul si et seulement si les deux polynômes ne sont pas premiers entre eux[2].

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le discriminant d'un polynôme de degré 1 est toujours égal à 1.
  • Pour les polynômes du second degré et avec les notations du premier paragraphe, on obtient :
    \Delta(P) = \frac{(-1)^\frac{2(2-1)}2}a\begin{vmatrix}
 & a & 2a & 0  &\\
 & b & b  & 2a &\\
 & c & 0  & b  &\\

\end{vmatrix} =  -\begin{vmatrix}
 & 1 & 2  & 0 &\\
 & b & b  & 2a&\\
 & c & 0  & b &\\
\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} b & 2a &\\ 0 & b &\\ \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} b & 2a &\\ c & b &\\ \end{vmatrix}
=  b^2 - 4ac
    en caractéristique différente de 2.
  • Pour les polynômes de degré trois on considère généralement le polynôme normalisé, c'est-à-dire celui dont le monôme dominant est égal à 1. et avec les notations suivantes :
    P = X^3 + aX^2 + bX + c.
    On obtient si A=\mathbb Q[3] :
    \Delta(P) = (-1)^\frac{3(3-1)}2\begin{vmatrix}
 & 1 & a & b & c & 0\\
 & 0 & 1 & a & b & c &\\
 & 3 & 2a & b & 0 & 0 &\\
 & 0 & 3 & 2a & b & 0 &\\
 & 0 & 0 & 3 & 2a & b &\\
\end{vmatrix} = a^2b^2 + 18abc - 4b^3 - 4a^3c - 27c^2.
    L'expression est un peu complexe ; pour cette raison, la tradition est de réaliser des substitutions.
    On obtient le résultat général suivant : supposons que A soit un corps commutatif de caractéristique différente de 2 et de 3. Alors on peut mettre le polynôme unitaire P(X) \in A[X] sous la forme
    P = X^3+pX+q \quad\text{et}\quad \Delta(P) = -2^2p^3 - 3^3q^2.
  • Dans le cas d'une équation polynomiale de degré 3 à coefficients réels, si ce discriminant est strictement positif, l'équation admet trois solutions réelles distinctes, si ce discriminant est nul, une racine est multiple et toutes sont réelles, si ce discriminant est strictement négatif, l'équation n'admet qu'une solution réelle, les deux autres sont complexes conjuguées. (Par exemple, pour l'équation binomiale X3a = 0, ce discriminant vaut –27a2 < 0 si a est un réel non nul.)
  • Les solutions de l'équation X^3 + pX + q =0 sur un corps commutatif K de caractéristique différente de 2 et de 3 sont données par la « formule de Cardan » qu'on peut, dans une clôture algébrique de K, mettre sous la forme
    {\rm j}^k\sqrt[3]{\frac12\left( -q+\sqrt{\frac{-\Delta}{3^3}}\right) }+{\rm j}^{-k}\sqrt[3]
{\frac12\left( -q-\sqrt{\frac{-\Delta}{3^3}}\right) }
    \left( 0\leq k\leq 2\right)\Delta est le discriminant noté ci-dessus \Delta(P) et où j est une racine cubique primitive de l'unité. Les deux termes u_k et v_k de cette somme sont liés par la relation 3u_kv_k=-p[4]. On trouvera un exemple de résolution d'équation du troisième degré en caractéristique finie à l'article Méthode de Cardan.
  • Les courbes elliptiques sont un cas particulier de polynômes du troisième degré à deux variables. Pour le cas simple d'une courbe elliptique de la forme y^2 = x^3 + px + q, où les coefficients q, p sont des nombres réels, le discriminant est de nouveau défini par \Delta = -4p^3 - 27q^2[5].

Expression générale[modifier | modifier le code]

L'expression générale du discriminant du polynôme P défini par :

P = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0\;

est la suivante :

\Delta(P)=\frac{(-1)^\frac{n(n-1)}{2}}{a_n}\begin{vmatrix}
 
a_n       & 0      & \cdots & 0      & na_n           & 0           & \cdots & 0           \\
a_{n-1} & a_n    & \ddots & \vdots & (n-1)a_{n-1}& na_n        & \ddots & \vdots      \\
\vdots  & a_{n-1}& \ddots & 0      & \vdots      & (n-1)a_{n-1}& \ddots & 0           \\
a_0     & \vdots & \ddots & a_n    & a_0         & \vdots      & \ddots & na_n        \\
0       & a_0    &        & a_{n-1}& 0           & a_0         &        & (n-1)a_{n-1}\\
\vdots  & \ddots & \ddots & \vdots &\vdots       & \ddots      & \ddots & \vdots      \\
0       & \cdots & 0      & a_0    &0            & \cdots      & 0      & a_0         \\
\end{vmatrix}.

Utilisations du discriminant[modifier | modifier le code]

Revenons sur l'utilisation du discriminant.

  • Dans le cas d'équations du second ou du troisième degré, le discriminant permet de calculer les racines et son signe permet de les caractériser (cf. supra).
  • Considérons plus généralement un polynôme  f\left( X\right) à coefficients réels de degré n>0. Si les racines de ce polynôme sont toutes réelles et distinctes, son discriminant \Delta vérifie \Delta>0. Si \Delta<0, les racines de  f\left( X\right) sont distinctes et deux d'entre elles au moins sont complexes conjuguées. Plus généralement, soit k un corps commutatif et f\left( X\right) \in k\left[ X\right] un polynôme de degré \geq 2. Si les racines de  f\left( X\right) dans une clôture algébrique de k appartiennent à k, le discriminant est un carré dans k.
  • Soit k un corps commutatif et f\left( X\right) \in k\left[ X\right] un polynôme de degré \geq 2. Ce polynôme est séparable si, et seulement si son discriminant \Delta est  \neq 0 (voir supra).
  • Soit k un corps commutatif de caractéristique  \neq 2 , f\left( X\right) \in k\left[ X\right] un polynôme séparable de degré n \geq 2, E\supseteq k son corps de rupture, et \alpha _{1},...,\alpha _{n} les racines de f dans E. Les conditions suivantes sont équivalentes[6] :
(a) Le groupe de Galois G\left( E/k\right), en tant que groupe des permutations de \alpha _{1},...,\alpha _{n}, est inclus dans le groupe alterné A_{n}.
(b) \delta =\prod\nolimits_{i<j}\left( \alpha _{i}-\alpha _{j}\right) appartient à k.
(c) Le discriminant \Delta est un carré dans k.

Discriminant d'un anneau d'entiers algébrique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : forme trace.

La théorie algébrique des nombres utilise la notion de discriminant à partir d'une définition qui semble bien différente. Elle correspond à un déterminant d'une forme quadratique et s'applique à un anneau commutatif A. Les deux définitions sont néanmoins intimement corrélées. S'il existe un entier algébrique a tel que l'anneau A est égal à ℤ[a] — ici ℤ désigne les entiers relatifs — alors le polynôme minimal de a possède ses coefficients dans ℤ. Son discriminant au sens des polynômes est égal au discriminant de l'anneau au sens de la théorie algébrique des nombres.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cette définition est fréquente. On la trouve, par exemple dans (en) Eric W. Weisstein, « Polynomial Discriminant », MathWorld (sous une forme plus générale dans le cas où P' n'est pas de degré n – 1) ou encore Résultant et discriminant sur le site bibmath.net. Cependant dans Résultant. Discriminant sur le site les-mathematiques.net, le coefficient de normalisation est absent.
  2. La démonstration proposée ici provient de (en) R. W. D. Nickalls et R. H. Dye, « The geometry of the discriminant of a polynomial », The Mathematical Gazette, vol. 80,‎ juillet 1996, p. 279-285 (lire en ligne).
  3. Cette formule se trouve par exemple dans l'article (en) Discriminant de l'Encyclopædia Britannica.
  4. Il convient en effet d'associer correctement deux à deux les racines cubiques dans une clôture algébrique du corps K : voir H. Weber, « Formule de Cardan modifiée par Cayley », Nouvelles annales de mathématiques, 3e série, vol. 14,‎ 1895, p. 347-349 (lire en ligne). La restriction sur la caractéristique de K provient des divisions par 2 et par 3 : voir Mac Lane et Birkhoff 1999, §XIII.1.
  5. Les conventions sont parfois différentes, et on peut trouver dans la littérature cette expression multipliée par un nombre strictement positif.
  6. Cohn 2005, Thm. 7.10.5

Bibliographie[modifier | modifier le code]