Résultant

En mathématiques, le résultant est une notion qui s'applique à deux polynômes. Elle est utilisée en théorie de Galois, en théorie algébrique des nombres, en géométrie algébrique et dans bien d'autres domaines utilisant les polynômes. Le résultant de deux polynômes est un scalaire qui s'annule si les deux polynômes ont un facteur commun. Il peut être calculé à partir des coefficients des polynômes à l'aide d'un déterminant. On peut aussi l'obtenir à partir des racines des polynômes si ceux-ci sont scindés.

Définition et expression

Définition

Soient A un anneau intègre, P et Q deux polynômes de degré respectifs n et m à coefficients dans A. Les coefficients des polynômes sont notés a_i et b_i, on a donc les égalités :

$P = \sum_{i=0}^n a_iX^i \quad \text{et}\quad Q = \sum_{j=0}^m b_jX^j$

• Le résultant des deux polynômes P et Q est le déterminant de leur matrice de Sylvester. Il est noté dans cet article R(P, Q).

Expression

Article détaillé : Matrice de Sylvester.

Avec les notations ci-dessus, le résultant est le déterminant de la matrice M suivante :

$M=\begin{pmatrix} a_n & 0 & \cdots & 0 & b_m & 0 & \cdots & 0 \\ a_{n-1} & a_n & \ddots & \vdots & \vdots & b_m & \ddots & \vdots \\ \vdots & a_{n-1}& \ddots & 0 & \vdots & & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & a_n & b_1 & & & b_m \\ a_0 & & & a_{n-1}& b_0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \ddots & & \vdots &0 & \ddots & b_1 & \vdots \\ \vdots & \ddots & a_0 &\vdots &\vdots & \ddots & b_0 & b_1 \\ 0 & \cdots & 0 & a_0 &0 & \cdots & 0 & b_0 \\ \end{pmatrix}$

La représentation choisie ici diffère de l'article détaillé. Elle évite une transposition pour exprimer les propriétés du résultant. Comme la transposition ne modifie pas le déterminant, les deux conventions peuvent être choisies.

Propriétés

Expressions à l'aide du déterminant

La matrice $M$ ci-dessus est de taille n + m, avec les m premières colonnes linéaires en le polynôme P, les n suivantes en le polynôme Q :

• Le résultant vérifie les formules :

$\forall \lambda \in \mathbb A,\; R(\lambda P,Q)=\lambda^m R(P,Q)\quad\text{et}\quad R(P,\lambda Q)=\lambda^n R(P,Q)$

La modification de l'ordre des colonnes modifie le signe du déterminant en fonction de sa signature :

• Le résultant vérifie la formule :

$R(P,Q) = (-1)^{n \cdot m} R(Q,P)$

L'endomorphisme φ de l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n + m - 1 et de matrice M peut être vu comme une application de l'identité de Bézout. Si A (resp. B) est un polynôme de degré m - 1 (resp. n - 1) :

$\varphi (X^n A + B) = P\cdot A + Q\cdot B\;$

Si P et Q ne sont pas premiers entre eux, ils ont un facteur commun C et P (resp. Q) est égal à un produit du type C.P₁ (resp. C.Q₁). L'égalité suivante :

$\varphi (X^n Q_1 - P_1) = P\cdot Q_1 - Q\cdot P_1=0\;$

montre qu'alors φ n'est pas injectif et le résultant est nul. Réciproquement une considération de degré montre que si P et Q sont premiers entre eux l'endomorphisme est injectif donc de déterminant non nul :

• Le résultant est non nul si et seulement si les deux polynômes P et Q sont premiers entre eux.

Expressions à l'aide des racines

La lettre F désigne le corps des fractions de A et K une extension de F contenant toutes les racines des deux polynômes, notées α_i pour P et β_j pour Q.

$P = a_n\prod_{i=1}^n(X -\alpha_i)\quad \text{et}\quad Q = b_m\prod_{j=1}^m(X -\beta_j)$

Quitte à travailler dans K et non plus dans A, les deux polynômes sont scindés, c'est-à-dire qu'ils se décomposent en produit de polynômes du premier degré et ils admettent chacun autant de racines que leur degré. L'usage de l'extension K offre une nouvelle expression du résultant.

• Le résultant des polynômes P et Q s'exprime de la manière suivante :

$R(P,Q) =a_n^m b_m^n \prod_{i,j} (\alpha_i - \beta_j ) = a_n^m\prod_i Q(\alpha_i) = (-1)^{nm}\, b_m^n\prod_jP(\beta_j) \,$

Cette formule montre par exemple que translater les deux polynômes ne change pas leur résultant :

$R(P(X+a),Q(X+a))=R(P(X),Q(X))\;$

Si on ajoute à P un multiple de Q, seul le coefficient du second membre est susceptible d'être modifié.

$P_1 \equiv P \mod Q\Rightarrow R(P,Q) = b_m^{m - \deg P_1} R(P_1,Q)$

En suivant un algorithme analogue à celui d'Euclide on obtient un procédé de calcul de résultant en temps quadratique.

Démonstration

Supposons dans un premier temps que les deux polynômes soient unitaires, c'est-à-dire que a_n et b_m soient égaux à un. Chaque coefficient de P et de Q s'exprime comme le produit d'un polynôme symétrique en les racines. Si le p^ième polynôme symétrique d'ordre q est noté σ_pq :

$\forall i \in [0, n-1],\; a_i = (-1)^i\sigma_{in}(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\quad\text{et}\quad \forall j \in [0, m-1],\; b_j = (-1)^j \sigma_{jm}(\beta_1,\cdots,\beta_m)$

Le résultant peut être vu comme un polynôme en les différentes racines de P et Q, il existe un polynôme R_r en n + m variables, tel que :

$R(P,Q)= R_r[\alpha_1,\cdots,\alpha_n,\beta_1,\cdots,\beta_m]\;$

L'anneau des polynômes à coefficients dans K et à m + n indéterminées est factoriel, Le polynôme R_r possède comme facteur (β_j - α_i) il existe un polynôme λ[X₁, ..., X_n+m] tel que :

$R(P,Q) = \lambda[\alpha_1,\cdots,\alpha_n,\beta_1,\cdots,\beta_m]\prod_{i,j}(\beta_j - \alpha_i)\;$

Une considération de degré montre que le polynôme λ[X₁, ..., X_n+m] est constant. Il suffit de choisir judicieusement les polynômes P et Q, par exemple Xⁿ et X^m pour s'assurer que la constante λ est égale à un. Pour traiter le cas où les polynômes ne sont pas unitaires, la première proposition du paragraphe précédent permet de conclure.

 

Applications

Si x et y sont deux nombres algébriques tels que $P(x)=Q(y)=0$ et si z=x+y, on vérifie aisément que le résultant des deux polynômes $P(X)$ et $Q(z-X)$ est nul, ce qui prouve que z est aussi algébrique ; de même si t=xy, en considérant le résultant de $P(X)$ et $X^pQ(t/X)$, on montrerait également que t est algébrique, et en définitive que les nombres algébriques forment un corps (la même technique permet de montrer que, plus précisément, les entiers algébriques forment un anneau). Une application un peu plus élaborée de la même idée permet d'ailleurs de montrer que ce corps est algébriquement clos.

Une application naturelle du résultant est le discriminant. Cette notion correspond au résultant d'un polynôme et de sa dérivée. Par delà l'intérêt de la résolution d'une équation polynômiale de degré deux, le discriminant permet de déterminer si un polynôme admet des racines multiples ou non. Cette propriété est importante en théorie de Galois car la théorie est différente si une extension n'est pas séparable. En théorie algébrique des nombres, le mot "discriminant" désigne une autre notion : une propriété associée à un anneau de Dedekind et intimement liée à celle de norme arithmétique ; notons que ce discriminant peut également se calculer à l'aide d'un résultant.

Le résultant est un outil permettant de déterminer l'intersection de deux courbes algébriques (c'est le théorème de Bézout) ou la multiplicité d'un point sur une hypersurface. Si, par exemple, on a une courbe paramétrée (x(t)=A(t)/B(t), y(t)=C(t)/D(t)), où A, B, C et D sont des polynômes, alors les points de la courbe vérifient R(x,y)=0, où R est le résultant des deux polynômes (en t) xB-A et yD-C. Plus généralement, dans un système d'équations algébriques à plusieurs inconnues, on élimine une des inconnues entre deux équations (de la forme $P(x_1,x_2,...x_n)=0$) en prenant le résultant de ces deux équations, considérées comme des polynômes en l'inconnue qu'on veut éliminer.

En théorie de l'information, le résultant est utilisé pour des calculs d'arithmétique modulaire permettant de calculer des diviseurs communs à deux polynômes, en général sur un corps fini.

Notes et références

Références

• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] 
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]
• (en) Robert J. Walker, Algebraic curves, Springer, 1978 (ISBN 978-03-879-0361-3)

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Resultant », MathWorld
• Résultant et discriminant sur le site bibmath.net