Équation quartique

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En mathématique, une équation quartique est une équation polynomiale de degré quatre.

Les équations quartiques ont été résolues dès que furent connues les méthodes de résolution des équations du troisième degré. Ont été développées successivement la méthode de Ferrari et la méthode de Descartes.

La méthode décrite ci-dessous est issue des propriétés des polynômes symétriques construits à partir des n racines d'un polynôme de degré n.

Fragments d'histoire[modifier | modifier le code]

La méthode de résolution de l'équation quartique est établie depuis déjà deux siècles par Ludovico Ferrari (1522-1565) qui donne sa méthode permettant de se ramener à une équation du degré trois appelée réduite de l'équation du quatrième degré. La méthode développée ici utilise les propriétés sur les variations des expressions faisant intervenir les racines des polynômes. Cette analyse correspond au travail de Joseph-Louis Lagrange[1] qui cherche à comprendre les principes généraux qui régissent les résolutions des équations de degré deux, trois et quatre[2]. L'idée de considérer les racines des polynômes comme des quantités formelles intervenant dans des polynômes, symétriques ou non, est une initiative fructueuse qui, appliquée à des polynômes de degré supérieur ou égal à 5, va déboucher sur le théorème d'Évariste Galois[2] qui démontre que, d’une manière générale, une équation polynomiale de degré 5 ou plus n’est pas résoluble par radicaux.

Formules[modifier | modifier le code]

L'équation

ax^4 + bx^3+ cx^2 + dx + e = 0\, (1)

se ramène, après division par a et changement de variable y = x + \frac{b}{4a} à l'équation

y^4 + py^2 + qy + r = 0\, (2)

dont les solutions sont

y_1 = \frac 12 ( \sqrt{z_1} + \sqrt{z_2} + \sqrt{z_3})
y_2 =\frac 12 ( \sqrt{z_1} - \sqrt{z_2} - \sqrt{z_3})
y_3 = \frac 12 (-\sqrt{z_1} + \sqrt{z_2} - \sqrt{z_3})
y_4 =  \frac 12 (- \sqrt{z_1} - \sqrt{z_2} + \sqrt{z_3})

z_1, z_2 et z_3 sont les trois racines du polynôme R appelé résolvante cubique ou réduite.

R(z) = z^3 + 2pz^2 + (p^2 - 4r)z -q^2\,

Ces trois racines se déterminent à l'aide de la méthode de Cardan.

Par \sqrt{z_i}, il faut entendre, un des nombres dont le carré vaut z_i\,. On remarque que changer simultanément tous les \sqrt{z_i} en leurs opposés transforme l'ensemble  \{y_1,\,y_2,\,y_3,\,y_4\} en  \{-y_1,-y_2, -y_3,-y_4\,\} . Il faut donc choisir « les » bonnes racines carrées. Ce sont « celles » telles que le produit \sqrt{z_1} \sqrt{z_2} \sqrt{z_3} vaut –q.

Inventaires des cas[modifier | modifier le code]

Dans le cas où les coefficients p, q et r sont réels, on remarque que le produit des racines du polynôme R est q^2, on est donc limité sur la forme des racines du polynôme R et sur les solutions de l'équation quartique.

  • Si les trois racines de R sont réelles positives, on obtient 4 valeurs réelles.
  • Si les trois racines de R sont réelles et que deux sont négatives, on obtient deux couples de complexes conjugués.
  • si R possède une racine réelle et deux racines complexes conjuguées, la racine réelle est positive et on obtient 2 valeurs réelles et deux complexes conjugués.

Principe de la méthode[modifier | modifier le code]

Il s'agit de trouver une expression faisant intervenir les 4 racines y_1\,, y_2\,, y_3\, et y_4\,, et ne permettant d'obtenir, par permutations, que 3 valeurs distinctes.

C'est le cas par exemple de -(y_1 + y_2)(y_3 + y_4)\, qui, par permutations, ne permet de donner que les valeurs

z_1 = -(y_1 + y_2)(y_3 + y_4)\,
z_2 = -(y_1 + y_3)(y_2 + y_4)\,
z_3 = -(y_1 + y_4)(y_2 + y_3)\,

Tout polynôme symétrique en z_1\,, z_2\,, z_3\, pourra être exprimé comme polynôme symétrique de y_1\,, y_2\,, y_3\,, y_4\,.

En particulier, les coefficients du polynôme R(z) = (z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)\, pourront s'exprimer à l'aide de p, q et r. Il est certain que la propriété

y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 0\, facilite les calculs.

On démontre en effet que

z_1 + z_2 + z_3 = - 2p\,
\Sigma z_iz_j = p^2-4r\,
z_1z_2z_3 = q^2\,

Les trois réels z_1\,, z_2\,, z_3\, sont alors solutions de l'équation

z^3 +2pz^2 + (p^2 - 4r)z -q^2 = 0\, (3)

Il reste maintenant à retrouver y_1\,, y_2\,, y_3\,, y_4\, en fonction de z_1\,, z_2\,, z_3\, sachant que y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 0\,.

On remarque alors que

z_1 = (y_1 + y_2)^2 = (y_3 + y_4)^2\,
z_2 = (y_1 + y_3)^2 = (y_2 + y_4)^2\,
z_3 = (y_1 + y_4)^2 = (y_2 + y_3)^2\,

donc que

y_1 + y_2 = \sqrt{z_1} et y_3 + y_4 = - \sqrt{z_1}\,
y_1 + y_3 = \sqrt{z_2} et y_2 + y_4 = - \sqrt{z_2}\,
y_1 + y_4 = \sqrt{z_3} et y_2 + y_3 = - \sqrt{z_3}\,

(il faut comprendre ici la notation \sqrt{z_i}\, comme une des racines carrées de z_i\,).

Les valeurs de y_i\, se retrouvent alors par simple addition.

Équations particulières[modifier | modifier le code]

Parmi les équations de degré quatre, certaines, particulières, peuvent se résoudre uniquement à l'aide des équations quadratiques, c'est le cas des équations bicarrées et des équations symétriques.

Équations bicarrées[modifier | modifier le code]

Elles s'écrivent sous la forme

ax^4+bx^2+c=0

et se résolvent par changement de variable

y=x^2

et la résolution de

ay^2+by+c=0.

Équations symétriques[modifier | modifier le code]

Elles s'écrivent sous la forme

ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0

et se résolvent par le changement de variable

z=x+\frac1x

et la résolution de

az^2+bz+c-2a=0.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Joseph Louis de Lagrange, Réflexions sur la résolution algébrique des équations, 1770, Lire sur Gallica.
  2. a et b Olivier Gebuhrer, Invitation à des réflexions sur la résolution algébrique des équations

Autres sources[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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