Binôme (mathématique)

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Un binôme, terme datant de 1554 (du latin bis et du grec nomos, part, division), désigne une expression algébrique composée de deux termes (monômes) séparés par le signe + ou -.

Exemples

$a+b~,\qquad 3\tan^2\phi-\frac{b^2}{e^{i\pi \theta}}~,\qquad \ldots$

Opérations sur des binômes simples

Factorisation

Le binôme $a^2 - b^2$ peut être factorisé comme un produit de deux autres binômes :

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).$

C'est un cas spécial d'une formule plus générale : $a^{n+1} - b^{n+1} = (a - b)\sum_{k=0}^{n} a^{k}\,b^{n-k}$.

Produit d'une paire de binômes linéaires

Le produit d'une paire de binôme linéaires $(ax+b)$ et $(cx+d)$ est :

$(ax+b)(cx+d) = acx^2 + axd + bcx + bd = acx^2 + (ad + bc)x + bd.$

Puissance d'un binôme

Un binôme élevé à la puissance n^ième, représenté par

$(a + b)^n$

peut être développé à l'aide de la formule du binôme de Newton ou, de façon équivalente, à l'aide du triangle de Pascal. Par exemple, le carré parfait $(p+q)^2$ peut être développé en mettant au carré le premier terme, en ajoutant le double du produit des deux termes et en ajoutant le carré du deuxième terme, ce qui donne $p^2+2pq+q^2$.

Une application simple de la formule du binôme la « formule (m,n) » qui génère les triplets pythagoriciens : pour m entier, n entier et m < n, posons $a=n^2-m^2$, $b=2mn$ et $c=n^2+m^2$, alors $a^2+b^2=c^2$, peu importe les valeurs de m et de n.

Voir aussi

Articles connexes

• Polynôme