Binôme (mathématique)

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Un binôme, terme datant de 1554 (du latin bis et du grec nomos, part, division), désigne une expression algébrique composée de deux termes (monômes) séparés par le signe + ou -.

Exemples[modifier | modifier le code]

a+b~,\qquad 3\tan^2\phi-\frac{b^2}{e^{i\pi \theta}}~,\qquad \ldots

Opérations sur des binômes simples[modifier | modifier le code]

Factorisation

Le binôme  a^2 - b^2 peut être factorisé comme un produit de deux autres binômes :

 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).

C'est un cas spécial d'une formule plus générale :  a^{n+1} - b^{n+1} = (a - b)\sum_{k=0}^{n} a^{k}\,b^{n-k}.

Produit d'une paire de binômes linéaires

Le produit d'une paire de binôme linéaires (ax+b) et (cx+d) est :

 (ax+b)(cx+d) = acx^2 + axd + bcx + bd = acx^2 + (ad + bc)x + bd.
Puissance d'un binôme

Un binôme élevé à la puissance nième, représenté par

 (a + b)^n

peut être développé à l'aide de la formule du binôme de Newton ou, de façon équivalente, à l'aide du triangle de Pascal. Par exemple, le carré parfait (p+q)^2 peut être développé en mettant au carré le premier terme, en ajoutant le double du produit des deux termes et en ajoutant le carré du deuxième terme, ce qui donne p^2+2pq+q^2.

Une application simple de la formule du binôme la « formule (m,n) » qui génère les triplets pythagoriciens : pour m entier, n entier et m < n, posons a=n^2-m^2, b=2mn et c=n^2+m^2, alors a^2+b^2=c^2, peu importe les valeurs de m et de n.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]