Méthode de Ruffini-Horner

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En mathématiques et algorithmique, la méthode de Ruffini-Horner, connue aussi sous les noms de méthode de Horner, algorithme de Ruffini-Horner ou règle de Ruffini, se décline sur plusieurs niveaux. Elle permet de calculer la valeur d'un polynôme en \scriptstyle x_0. Elle présente un algorithme simple effectuant la division euclidienne d'un polynôme par \scriptstyle X -  x_0. Mais elle offre aussi une méthode de changement de variable \scriptstyle X= x_0 + Y dans un polynôme. C'est sous cette forme qu'elle est utilisée pour déterminer une valeur approchée d'une racine d'un polynôme.

Histoire[modifier | modifier le code]

La méthode de Ruffini-Horner de recherche d'une valeur approchée de racine d'un polynôme est publiée à quelques années d'intervalle par Paolo Ruffini (1804-1807-1813) et par William George Horner (1819-1845 posthume) mais il semble bien que Horner n'ait pas eu connaissance des travaux de Ruffini. La méthode de Horner est ensuite popularisée par les mathématiciens De Morgan et J.R. Young. Dans leurs premières publications, ces deux auteurs utilisent des méthodes de dérivations pour effectuer le changement de variable X = x0 + Y. Par la suite, ils présentent des versions ne faisant appel qu'à des techniques algébriques. La méthode de Ruffini-Horner est difficilement exploitable si le polynôme possède deux racines trop proches. Ruffini n'évoque pas ce problème mais Horner propose une procédure spéciale pour ce cas-là[1].

En tant que technique de changement de variable, on retrouve des algorithmes analogues, en Chine, pour l'extraction de racine n-ième, dans les Neuf Chapitres (263 après J.C) [2]et dans l'œuvre de Al Samaw'al (XIIe siècle)[3]. Mais il semble bien que Sharaf al-Dīn al-Tūsī (XIIe siècle) soit le premier à l'utiliser dans le cas général d'une équation de degré 3[4].

Valeur d'un polynôme en un point[modifier | modifier le code]

Soit

P = anXn + an-1Xn-1 + … + a0

un polynôme[5] et x0 un nombre[6]. Le calcul de P(x0)

P = anx0n + an-1x0n-1 + … + a0

laisse à penser qu'il faut calculer chacune des puissances de x0, multiplier celle-ci par son coefficient ak puis faire la somme de ce que l'on a trouvé.

Si on calcule x0 en multipliant successivement x0 par lui-même, le nombre nécessaire de produits est alors de n + (n - 1) + … + 2 + 1 = n(n+1)/2, quantité qui croît comme le carré du degré du polynôme.

On peut améliorer la vitesse du calcul de x0n par une méthode d'exponentiation rapide, permettant de réduire le temps du calcul de P(x0) à une quantité qui croît comme n×ln(n).

La méthode de Horner consiste à améliorer encore ce résultat en effectuant le calcul comme suit :

\mathrm{P}(x_0) = ((\dots ((a_nx_0 + a_{n-1})x_0 + a_{n-2})x_0 + \dots ) x_0+ a_1)x_0 + a_0.

Le nombre de produits est alors réduit à n, de sorte que le temps de calcul d'une fonction polynomiale en un point a est seulement proportionnel au degré du polynôme.

La méthode consiste donc à multiplier le premier coefficient par x0 et à lui ajouter le second coefficient. On multiplie alors le nombre obtenu par x0 et on lui ajoute le troisième coefficient, etc. Elle s'organise très bien à l'aide d'un tableau dans lequel chaque case de la seconde ligne est obtenue en multipliant le coefficient de la case de gauche par x0 et en lui ajoutant le coefficient de la case du dessus.

Coefficients de P an an - 1 an - 2 a1 a0
Facteur x0 an anx0 + an - 1 (anx0 + an - 1)x0 + an - 2 q0 P(x0) = q0x0 + a0

Exemple pratique : Calcul de 4X3 - 7X2 + 3X - 5 pour X = 2

Coefficients de P 4 −7 3 −5
Facteur 2 4 8 − 7 = 1 2 + 3 = 5 P(2) = 10 − 5 = 5

Outre la réduction du nombre d'opérations, cette méthode peut éviter dans certains cas de manipuler des nombres très grands, et donc peut éviter les dépassements de capacité pour les calculs sur ordinateur. Si l'on prend par exemple le polynôme P(X) = X10 - 99X9, alors avec la méthode « classique », pour évaluer P(100), on doit calculer 10010 = 1020 auquel on retranche 99×1018, donnant un résultat erroné sur des logiciels calculant avec 15 chiffres significatifs. Avec la méthode de Ruffini-Horner, on a

P(100) = (100 - 99)×1009

conduisant au résultat correct 1009 = 1018 puisque le calcul de la mantisse n'a utilisé que trois chiffres significatifs.

Conversion de base de numération[modifier | modifier le code]

Cette méthode permet aussi d'effectuer une conversion rapide d'un nombre écrit en base x0 en écriture en base 10. En effet, si un nombre s'écrit, en base x0,

n = \overline{a_na_{n-1}\cdots a_0},

ce nombre vaut

n = a_nx_0^n + a_{n-1}x_0^{n-1} + \cdots + a_0.

Il s'agit donc de l'évaluation d'un polynôme.

Exemple pratique : écriture en base 10 du nombre hexadécimal DA78

Coefficients D (13) A (10) 7 8
Facteur 16 13 13 × 16 + 10 = 218 218 ×16+ 7 = 3 495 DA78 = 3 495 × 16 + 8 = 55 928

Quotient d'un polynôme par X - x0[modifier | modifier le code]

Cette même méthode permet aussi d'obtenir la division d'un polynôme par \scriptstyle X-x_0. Soit \scriptstyle P = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + ... + a_0.

La division euclidienne de P par\scriptstyle X-x_0 donne

P = (X-x_0)Q + P(x_0)\,

où Q est un polynôme de degré n - 1.

Si on écrit \scriptstyle Q = q_{n-1}X^{n - 1} + q_{n-2}X^{n-2}+ ...+ q_1X + q_0 et si on identifie les coefficients de même degré dans les deux membres, on obtient :

q_{n-1} = a_n \,
q_{k-1} - q_kx_0=a_k \, pour tout k tel que 0 < k < n

Soit encore

q_{k-1}=q_kx_0+a_k\, pour tout k tel que 0 < k < n


Les n valeurs de la suite q calculées ici sont précisément les n valeurs successives calculées dans le paragraphe précédent pour évaluer\scriptstyle P(x_0). La mémorisation de ces valeurs successives donne donc les coefficients du polynôme quotient, la dernière valeur étant celle du reste.

Application pratique : Division euclidienne de \scriptstyle 4X^3 - 7X^2 + 3X - 5 par \scriptstyle X-2

Il suffit de reprendre le tableau précédemment construit et de lire dans les cases de la seconde ligne les coefficients de Q.

Coefficients de P 4 − 7 3 − 5
Coefficients de Q 4 8 − 7 = 1 2 + 3 = 5 Reste = 10 − 5 = 5

Donc

4X^3 - 7X^2 + 3X - 5 = (X-2)(4X^2 + X + 5) + 5\,

Changement de variable[modifier | modifier le code]

L'algorithme précédent permet donc d'effectuer la division euclidienne du polynôme P par \scriptstyle X-x_0. On peut alors écrire, en posant Y = \scriptstyle X-x_0.

P(X) = YP_1(X)+b_0\,

En utilisant de nouveau l'algorithme pour \scriptstyle P_1, \scriptstyle P_2, .. \scriptstyle P_n,on obtient successivement

P(X) = Y\left(YP_2(X)+b_1\right)+b_0\,

...

P(X) = Y\left(Y\left(...Y\left(Yb_n + b_{n-1}\right)...\right)+b_1\right)+b_0\,

Les nombres \scriptstyle b_0, \scriptstyle b_1, ...\scriptstyle b_n sont donc les coefficients du polynôme Q tel que Q(Y) = P(x0+Y)


Illustration pratique  : Si \scriptstyle  P(X) =4X^3 - 7X^2 + 3X - 5 et que l'on cherche à écrire  \scriptstyle P(2 + Y) , on applique 4 fois la méthode de division euclidienne par X - 2 :

Coefficients de P 4 − 7 3 − 5
Coefficients de P1 4 8 − 7 = 1 2 + 3 = 5 10 − 5 = 5
Coefficients de P2 4 8 + 1 =9 18 + 5 = 23
Coefficients de P3 4 8 + 9 =17
Coefficients de P4 4

Donc

 P(2 + Y) = 4Y^3+17Y^2+23Y+5\,

Valeur approchée d'une racine[modifier | modifier le code]

Pour chercher la valeur approchée x d'une racine d'un polynôme P, on cherche un entier \scriptstyle x_0 tel que \scriptstyle P(x_0) et \scriptstyle P( x_0+1) soient de signe contraire. On sait alors, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe une racine entre \scriptstyle x_0 et \scriptstyle x_0 + 1. On pose alors \scriptstyle x = x_0 + \frac{y}{10}. Le nombre x est racine de P(X) si et seulement si le nombre y/10 est racine de \scriptstyle P(x_0+Y) = Q(Y). Ce polynôme Q se détermine grâce à la méthode de Horner. Enfin x est racine de P(X) si et seulement y est racine d'un polynôme R(X) obtenu en multipliant les coefficients b_k de Q par 10^{n-k}.

Il s'agit alors de chercher une racine de R comprise entre 0 et 10 en utilisant un processus analogue : on cherche un entier \scriptstyle x_1 compris entre 0 et 9 tels que \scriptstyle R(x_1) et \scriptstyle R(x_1 + 1) soient de signe contraire. On sait alors qu'il existe une racine x de P comprise entre \scriptstyle x_0+\frac{x_1}{10} et \scriptstyle x_0+\frac{x_1+1}{10}...

On détermine ainsi les décimales successives du développement décimal de x.

Exemple : Algorithme de Ruffini-Horner pour l'extraction de la racine cubique de 18.

Il s'agit de trouver un réel x racine du polynôme \scriptstyle P(X) = X^3 - 18. On sait immédiatement que P(2)< 0 et P(3) > 0, x est donc compris entre 2 et 3. On pose alors \scriptstyle x=2+\frac{y}{10} et on cherche le polynôme Q tel que P(2+Y)=Q(Y)

Coefficients de P 1 0 0 - 18
Coefficients de P1 1 2 4 - 10
Coefficients de P2 1 4 12
Coefficients de P3 1 6
Coefficients de P4 1

Le réel x est racine cubique de 18 si \scriptstyle x=2+\frac{y}{10} où y est racine de \scriptstyle R(X)= X^3+60X^2+1200X-10000. La racine y est comprise entre 6 et 7 (pour éviter de balayer tous les nombres, il suffit de remarquer que 1200y et 10000 doivent être très proches avec 1200y < 10000 ). On pose alors \scriptstyle y=6+\frac{z}{10} et on cherche le polynôme S tel que R(6+Z)=S(Z).

Coefficients de R 1 60 1200 -10000
Coefficients de R1 1 66 1596 -424
Coefficients de R2 1 72 2028
Coefficients de R3 1 78
Coefficients de R4 1

Le réel y est racine de R si \scriptstyle y=6+\frac{z}{10}z est racine de \scriptstyle T(X)= X^3+780X^2+202800X-424000. La racine z est comprise entre 2 et 3. Donc y est compris entre 6,2 et 6,3 et x est compris entre 2,62 et 2,63.

Dérivées successives de P en x0[modifier | modifier le code]

Cette propriété apparaît ici en dernière position alors qu'elle est la propriété initiale mise en évidence par Ruffini et Horner. Cependant, comme une démarche purement algébrique est possible, celle-ci, plus simple, a été présentée d'abord. Le même algorithme permet de déterminer aussi la valeur de \scriptstyle P^{(k)}(x_0). En effet, le développement de Taylor de P(x0 + Y) donne

P(x_0+Y) = P(x_0) + P'(x_0)Y + \frac{P^{(2)}(x_0)}{2}Y^2+\cdots+\frac{P^{(k)}(x_0)}{k!}Y^k + \cdots \,

Si on note Q(Y) = P(x_0 + Y), les coefficients b_k de Q, trouvés par la méthode de Ruffini-Horner vérifient l'égalité

k!b_k=P^{(k)}(x_0)\,

Annexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Florian Cajori, Horner's method of approximation anticipated by Ruffini, American Mathematical Society, 21 novembre 1910.
  2. Karine Chemla et Guo Shuchun, Les neuf chapitres : Le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires [détail de l’édition], introduction au chapitre 4
  3. Hélène Bellosta, À propos de l'histoire des sciences arabes, Gazette des mathématiciens, n°82, Octobre 1999
  4. J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), p. 304-309.
  5. On peut travailler sur R ou sur un anneau commutatif A quelconque
  6. ou un élément de l'anneau A