Espace projectif

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En mathématiques, un espace projectif est une construction fondamentale qui permet d'homogénéiser un espace vectoriel, autrement dit d'oublier les proportionnalités pour ne plus considérer que des directions. Par exemple, Pn(ℝ) est le quotient de ℝn+1\{0} par la relation d'équivalence de colinéarité.

Généralités[modifier | modifier le code]

Présentation[modifier | modifier le code]

L'espace projectif généralise le plan projectif qui peut être construit à partir d'un espace vectoriel de dimension trois, sur n’importe quel corps commutatif.

Alors que la théorie des plans projectifs a un aspect combinatoire, qui est absent dans le cas général, l’espace projectif est fondamental en géométrie algébrique, à travers la riche géométrie projective développée au XIXe siècle mais aussi dans les constructions de la théorie moderne (basée sur l’algèbre graduée). Les espaces projectifs et leur généralisation à des variétés de drapeaux jouent aussi un grand rôle en topologie, dans la théorie des groupes de Lie et des groupes algébriques, et leur théorie des représentations.

Espace projectif d'un espace vectoriel[modifier | modifier le code]

L'idée de base est de considérer l'ensemble des droites vectorielles d'un espace vectoriel V comme les points de l'espace projectif construit sur V . Dans ce cas, les plans vectoriels de V donneront les droites de l'espace projectif ; si on se donne une courbe dans V ne passant pas par l'origine de cet espace, alors on peut associer à cette courbe dans V une courbe dans l'espace projectif en considérant toutes les droites vectorielles passant par la courbe. Plus géométriquement, cela revient à considérer dans V le cône dont le sommet est à l'origine de l'espace et formé de toutes les droites s'appuyant sur cette courbe. On voit ainsi que si une courbe possède deux points sur la même droite vectorielle, alors son image dans l'espace projectif possèdera un point (au moins) double.

Plus formellement, l'espace projectif est formé de toutes les classes d'équivalence par homothétie de vecteurs non nuls de V ; en d'autres termes, on dira que v et w , vecteurs non nuls de V, sont équivalents si et seulement s'il existe un scalaire c non nul dans K, tel que v=cw.

Cette idée remonte aux descriptions mathématiques de la perspective. Si le corps K est celui des nombres réels, et V a pour dimension n , alors l’espace projectif P(V) porte une structure naturelle de variété lisse compacte de dimension n-1. Il est aussi très symétrique, car tout automorphisme linéaire de V donne aussi une symétrie de P(V). Dans les exemples classiques, ces transformations sont des changements de perspective ou transformations projectives. Le groupe de ces symétries est le quotient du groupe général linéaire de V par le sous groupe des multiples non-nuls de l’identité.

Avantage pour la considération des infinis[modifier | modifier le code]

L’utilisation d’espaces projectifs rend rigoureuse les notions de droite à l’infini, qui est l'ensemble des points à l'infini où les droites parallèles se rencontrent, et de plan à l’infini (en) pour trois dimensions, et les généralisent. On peut choisir arbitrairement un plan dans l'espace projectif comme plan à l’infini. De cette manière, les idées géométriques introduites par Poncelet et Gergonne notamment deviennent une partie de la théorie fondée sur l’algèbre linéaire. Dans tout espace projectif de dimension k, on peut fixer un sous-espace projectif de dimension k-1 et en faire le sous-espace à l'infini. Son complémentaire peut être identifié à l'espace affine de dimension k ; mais les symétries de P(V) ne respectent généralement pas cette partition. L’utilisation d’une base de V permet, si besoin est, l’introduction de coordonnées homogènes pour l’exécution des calculs concrets.

L’utilisation d’espaces vectoriels sur le corps des nombres complexes fait apparaître des objets différents, également utilisés par les géomètres. Leur utilisation permet d'obtenir une bonne théorie de l'intersection pour les variétés algébriques.

Construction et utilisations[modifier | modifier le code]

  • On obtient un espace projectif en ajoutant une coordonnée supplémentaire à celle d'un espace ordinaire ; exemple : trois pour un espace à deux dimensions ; quatre pour un espace à trois dimensions ; etc. Ainsi le point de coordonnées (x,y,z) en 3D aura en représentation projective les coordonnées (x,y,z,1). Les points à l'infini ont pour coordonnées (x,y,z,0) avec x,y,z non tous nuls ; par exemple celui de l'axe des x a pour coordonnées (1,0,0,0).
  • Cette disposition permet d'éviter des traitements particuliers pour les points à l'infini (qui sont ceux dont la dernière coordonnée est 0).
  • Les systèmes de traitement graphique GL et OpenGL, de Silicon Graphics, utilisent des espaces projectifs pour représenter les informations spatiales en ordinateur.
  • Toute variété kählérienne définie sur un corps algébriquement clos, compacte, connexe, à courbure (bi)sectionnelle positive, est isomorphe à un espace projectif complexe[1].

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Michel Demazure, « Caractérisations de l'espace projectif (conjectures de Hartshorne et de Frankel) » dans Séminaire Bourbaki 22 (1979-1980) en ligne

Voir aussi[modifier | modifier le code]