Relation réflexive

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En théorie des ensembles, une relation binaire peut avoir, entre autres propriétés, la réflexivité ou l'irréflexivité.

  • Une relation réflexive R de l'ensemble X est une relation pour laquelle pour tout a de X, a est R-relié à lui-même.

En notation mathématique, cela s'écrit :

\forall a \in X,\ a R a
  • Une relation irréflexive est une relation pour laquelle pour tout a de X, a n'est jamais R-relié à lui-même.

En notation mathématique, cela s'écrit :

\forall a \in X,\ \lnot (a R a).

L'irréflexivité et la réflexivité sont deux propriétés incompatibles mais ne sont pas opposées logique. Donc une relation peut être réflexive, irréflexive, ni l'une ni l'autre, mais pas les deux.

Les inégalités "strictement inférieur à" ou "strictement supérieur à" sont des relations irréflexives. Mais, si nous définissons une relation R sur les entiers telle que a R b si et seulement si a = -b, alors elle n'est ni réflexive, ni irréflexive, car 0 est le seul élément relié à lui-même.

Propriétés contenant la propriété réflexive[modifier | modifier le code]

Pré-ordre - Une relation réflexive qui est aussi transitive. Les différents types de pré-ordres et de relations d'équivalence sont donc aussi réflexifs.

Exemples[modifier | modifier le code]

Par exemple, la relation binaire \leq dans \mathbb{N} est réflexive : tout entier est inférieur ou égal à lui-même. Par contre, la relation  < n'est pas réflexive : le nombre 1 n'est pas strictement inférieur à lui-même.

Quelques exemples de relations réflexives 
  • "est égal à" (égalité)
  • "est un sous-ensemble de" (inclusion d'ensembles)
  • "est plus grand que ou égal à" : \geq
  • "est plus petit que ou égal à" : \leq

Une relation d'équivalence et une relation d'ordre sont d'autres exemples de relations réflexives.

Quelques exemples de relations irréflexives 
  • "n'est pas égal à" : \neq
  • "est copremier à"
  • "est strictement plus grand que" : \displaystyle >