Transitivité (mathématiques)

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En mathématiques, la transitivité est une propriété éventuelle d'une relation binaire. Une relation binaire $\mathcal{R}$ définie sur un ensemble $E$ est transitive quand, à chaque fois que l'on a trois éléments x, y et z de E tels que x et y sont en relation, ainsi que y et z, alors x et z sont en relation. Plus formellement :

$\forall x, y, z \in E\left[(x \mathcal{R} y \and y \mathcal{R} z) \implies x \mathcal{R} z\right]$.

Si l'amitié était transitive, on pourrait affirmer « Tous les amis de mes amis sont mes amis.»

On en déduit qu'une relation sur E n'est pas transitive si et seulement s'il existe un triplet d'éléments de E qui fournit un contre-exemple à la transitivité : x et y sont en relation, ainsi que y et z, mais pas x et z. Plus formellement :

$\exists x, y, z \in E\left[x \mathcal{R} y \and y \mathcal{R} z \and \lnot(x\mathcal{R}z)\right]$.

On dit alors que la relation binaire $\mathcal{R}$ est non-transitive. Cette propriété, qui est la simple négation de la transitivité, ne doit pas être confondue avec la propriété suivante :

$\forall x, y, z \in E \left[(x \mathcal{R} y \and y \mathcal{R} z) \implies\lnot(x \mathcal{R} z)\right]$.

On dit parfois d'une telle relation qu'elle est anti-transitive (cette propriété est moins utile et moins courante que la transitivité, le vocabulaire n'est pas forcément bien établi). Les propriétés de non-transitivité et d'anti-transitivité ne sont pas comparables : aucune des deux n'entraîne l'autre, en particulier une relation, même non vide, peut très bien être transitive et anti-transitive (il suffit qu'il n'y ait pas de triplet (x, y, z) vérifiant x R y et y R z).

Exemples

• Les relations $=$, $\geq$ et $\leq$ sont parmi quelques-unes des relations transitives les plus couramment utilisées. Si $a = b$ et si $b = c$ alors automatiquement $a = c$.

• La relation de parallélisme est transitive : si une droite D est parallèle à D', elle-même parallèle à D", alors D est parallèle à D". Il en est de même pour toute relation d'équivalence.

• De même, les relations d'ordre sont transitives. Par exemple, $(a \leq b \and b \leq c) \implies a \leq c$ ou encore tout diviseur naturel d'un diviseur naturel de n divise n.

• Ainsi, on dit de la relation de congruence qu'elle est transitive dans $\mathbb N$. Cela veut dire que si $a \equiv b [2]$ et si $b \equiv c [2]$, alors $a \equiv c [2]$.

Exemple de non-transitivité

• La relation $\not=$ n'est pas transitive, c'est-à-dire $a \not= b$ et $b \not= c$ ne permet pas de dire que $a \not= c$.

Exemple d'anti-transitivité

• La relation "est le père de" est anti-transitive : si (a est le père de b) et (b est le père de c), alors (a n'est pas le père de c).