Opposé (mathématiques)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Opposé.

Cas particulier des nombres[modifier | modifier le code]

L’opposé d’un nombre n est le nombre qui, ajouté à n, donne zéro.

Par exemple :

  • l’opposé de 7 est égal à -7 car 7 + (-7) = 0
  • l’opposé de -0,3 est 0,3 car -0,3 + 0,3 = 0.

Ainsi d’après le dernier exemple, -(-0,3) = 0,3.

Plus généralement, si E est un ensemble muni d’une loi interne d’addition associative et commutative, l’opposé d’un élément x de E est le symétrique (s’il existe) de cet élément, et est noté en général -x.

Si de plus tous les éléments de E sont symétrisables pour la loi d’addition, alors il est possible de définir une loi de ℤ×E dans E par :

\forall n\in\mathbb{Z}, \forall x\in E, n.x=\left\{\begin{matrix}\underbrace{x+x+\ldots+x} & {\ \rm si\ }n>0\\{}_{n{\ \rm fois}}\\0 & {\ \rm si\ }n=0\\\underbrace{(-x)+(-x)+\ldots+(-x)} & {\ \rm si\ }n<0\\{}_{-n\ {\rm fois}}\end{matrix}\right.

Dans les cas particuliers des ensembles ℤ, ℚ, ℝ et \mathbb{C}, le produit pour la multiplication interne d’un nombre par -1 est égal à l’opposé de ce nombre.

Les ensembles dont tous les éléments admettent un opposé pour l’addition dans cet ensemble sont :

En revanche, l'ensemble des entiers naturels n'a pas cette propriété : 3 a bien un opposé, -3, mais ce n'est pas un entier naturel.

Pour construire l’ensemble ℤ des entiers relatifs à partir de l’ensemble ℕ des entiers naturels, il suffit d’inclure formellement à ce dernier les opposés des entiers naturels. Ainsi, on dit que l’ensemble des entiers naturels n’est pas stable pour l’opposé, parce que leurs opposés ne sont pas des entiers naturels.

Définition générale[modifier | modifier le code]

Soient (G,+) un groupe commutatif, dont la loi de composition interne est notée additivement et dont l’élément neutre est noté 0, et x un élément quelconque de G. On appelle opposé de x et on note -x l’élément symétrique de x, i. e. l’unique élément -x de G tel que :

x + (-x) = (-x) + x = 0.

Voir aussi[modifier | modifier le code]