Opposé (mathématiques)
Pour les articles homonymes, voir Opposé.[modifier] Cas particulier des nombres
L’opposé d’un nombre n est le nombre qui, ajouté à n, donne zéro.
Par exemple :
- l’opposé de 7 est égal à -7 car 7 + (-7) = 0 ;
- l’opposé de -0,3 est 0,3 car -0,3 + 0,3 = 0.
Ainsi d’après le dernier exemple, -(-0,3) = 0,3.
Plus généralement, si E est un ensemble muni d’une loi interne d’addition associative et commutative, l’opposé d’un élément x de E est le symétrique (s’il existe) de cet élément, et est noté en général -x.
Si de plus tous les éléments de E sont symétrisables pour la loi d’addition, alors il est possible de définir une loi de ℤ×E dans E par :
Dans les cas particuliers des ensembles ℤ, ℚ, ℝ et 
, le produit pour la multiplication interne d’un nombre par -1 est égal à l’opposé de ce nombre.
Les ensembles dont tous les éléments admettent un opposé pour l’addition dans cet ensemble sont :
- les entiers relatifs ;
- les nombres rationnels ;
- les nombres réels ;
- les nombres complexes.
En revanche, l'ensemble des entiers naturels n'a pas cette propriété : 3 a bien un opposé, -3, mais ce n'est pas un entier naturel.
Pour construire l’ensemble ℤ des entiers relatifs à partir de l’ensemble ℕ des entiers naturels, il suffit d’inclure formellement à ce dernier les opposés des entiers naturels. Ainsi, on dit que l’ensemble des entiers naturels n’est pas stable pour l’opposé, parce que leurs opposés ne sont pas des entiers naturels.
[modifier] Définition générale
Soient (G,+) un groupe commutatif, dont la loi de composition interne est notée additivement et dont l’élément neutre est noté 0, et x un élément quelconque de G. On appelle opposé de x et on note -x l’élément symétrique de x, i. e. l’unique élément -x de G tel que :
- x + (-x) = (-x) + x = 0.
