Théorème d'Hurewicz

En topologie algébrique, le théorème d'Hurewicz est une description du premier groupe d'homologie singulière d'un espace topologique X à l'aide du groupe fondamental de X. Il a été attribué au mathématicien Hurewicz.

Énoncé

Le groupe fondamental d'un espace topologique connexe par arcs X en un point x est défini comme l'ensemble des classes d'homotopie de lacets de X en x, muni de la loi de concaténation des lacets. Il est noté $\pi_1(X,x)$. Si y est un second point de X, les groupes $\pi_1(X,x)$ et $\pi_1(X,y)$ sont isomorphes : des isomorphismes peuvent être construits en utilisant un chemin de x à y. Cependant, de tels isomorphismes sont uniquement définis à conjugaison près.

Si G est un groupe, on note $[G,G]$ le sous-groupe normal de G engendré par les commutateurs de G, appelé groupe dérivé. Le groupe $G^{ab}:=G/[G,G]$ s'appelle l'abélianisé de G. Plus grand quotient abélien de G, il est caractérisé par la propriété universelle suivante :

Tout morphisme de groupe de G dans un groupe abélien se factorise à travers G^ab.

Un automorphisme intérieur de G préserve les commutateurs, et induit par passage au quotient l'identité sur l'abélianisé G^ab. En particulier, alors que le groupe fondamental de (X,x) dépend du point de base x, son abélianisé est un invariant algébrique de X.

La construction de l'homologie singulière est supposée connue du lecteur. On note $H_*(X,\mathbf{Z})$ les groupes d'homologie de X à coefficients entiers. Le théorème d'Hurewicz affirme l'existence d'un isomorphisme naturel de $H_1(X,\mathbf{Z})$ sur $\pi(X,x)^{ab}$ :

Théorème :

Soit X un espace topologique connexe par arcs. Un lacet $f:[0,1]\rightarrow X$ est, en tant que 1-chaîne, un cycle. L'application de groupe $\Phi_X:\pi_1(X,x)\rightarrow H_1(X,\mathbf{Z})$ induit un isomorphisme appelé isomorphisme d'Hurewicz :

$\Phi_X: \pi_1(X,x)^{ab}\overset{\sim}{\rightarrow} H_1(X,\mathbf{Z})$.

De plus, si Y est également connexe par arcs, toute application continue $g:X\rightarrow Y$ induit des morphismes de groupes $g_*:\pi_1(X,x)\rightarrow \pi_1(Y,g(x))$ et $g_*:H_1(X,\mathbf{Z})\rightarrow H_1(Y,\mathbf{Z})$. Ces morphismes vérifient :

$g_*\circ \Phi_X=\Phi_Y\circ g_*$.

Autrement dit, $H_1(X,\mathbf{Z})$ est naturellement l'abélianisé de $\pi_1(X,x)$. Plus exactement, on dispose de deux foncteurs covariants de la catégorie des espaces topologiques connexes par arcs dans la catégorie des groupes abéliens, à savoir :

• Le foncteur $H_1$ qui à un "objet" X associe $H_1(X,\mathbf{Z})$ ;
• La foncteur $\pi_1^{ab}$ qui à un "objet" X associe $\pi_1(X,x)^{ab}$ où le point de base x est choisi arbitraire.

Le théorème d'Hurewicz donne l'existence d'un isomorphisme de foncteurs $\Phi$ de $\pi_1^{ab}$ sur $H_1$.

Exemples

Le théorème d'Hurewicz permet de calculer le premier groupe d'homologie connaissant le groupe fondamental :

Espace topologique	Description	Groupe fondamental	$H_1(.,\mathbf{Z})$
Espace contractile	Tout lacet se contracte en un point.	Groupe trivial	0
$S^1$	Le cercle unité de $\mathbf{C}$.	Le groupe additif des entiers naturels Z	Z
$P^nR$	L'espace projectif réel de dimension n.	$\mathbf{Z}_2=\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$	$\mathbf{Z}_2$
$T^n$	Le tore de dimension n.	Le produit cartésien $\mathbf{Z}^n$	$\mathbf{Z}^n$
$S^1\wedge S^1$	La somme de deux cercles appelée la figure du huit.	Le groupe libre $L_2$.	$\mathbf{Z}^2$
$\Sigma_g$	La surface compacte orientée de genre g.	Le groupe présenté par $<a_1,...,b_1,...,b_g|[a_1,b_1]...[a_g,b_g]=1>$.	$\mathbf{Z}^{2g}$.

Preuve

Le théorème d'Hurewicz énonce l'existence d'un morphisme de groupes et sa bijectivité. L'injectivité du morphisme d'Hurewicz demande plus de travail que sa surjectivité. La bijectivité sera ici établie en donnant la construction explicite d'un inverse. On note $\Delta_0$ le point, $\Delta_1=[0,1]$ le 1-simplexe standard, et $\Delta_2$ le 2-simplexe standard où les points sont repérées en coordonnées barycentriques par (s,t,u) avec s+t+u=1.

Existence du morphisme d'Hurewicz

Un lacet f de X en un point x est une application continue $f:[0,1]\rightarrow X$ avec $f(0)=f(1)=x$. Une telle application peut être vue comme un 1-simplexe de X ; par définition, son bord est $f(1)-f(0)=x-x=0$. Donc f est un 1-cycle. Une homotopie entre deux lacets f et g donne un 2-simplexe dont le bord est g-f : les vérifications laissées au lecteur sont de la même nature que celles rencontrées ci-après. De fait, le 1-cycle f ne dépend modulo les 1-bords que de la classe d'homotopie du lacet f. On dispose donc d'une application naturelle :

$\Phi_X:\pi_1(X,x)\rightarrow H_1(X,\mathbf{Z})$

Cette application est un morphisme de groupes : pour deux lacets f et g de X en x, $f\ast g$ est un 1-cycle, $(f\ast g)-g-f$, peut être vu comme élément de $C_1(X,\mathbf{Z})$ qui est un bord. C'est le bord du 2-simplexe h défini par :

$\begin{cases} h(s,t,u)=f(1+t-s) & \hbox{ si }t\leq s,\\ g(t-s)\hbox{ si }t>s.\end{cases}$

Comme $H_1(X,\mathbf{Z})$ est abélien, ce morphisme se factorise à travers l'abélianisé pour donner le morphisme d'Hurewicz :

$\Phi_X:\pi_1(X,x)^{ab}\rightarrow H_1(X,\mathbf{Z})$.

Construction de l'inverse

Comme X est connexe par arcs, pour y un point de X, introduisons un chemin $\lambda_y$ d'origine x et d'extrémité y (l'axiome du choix est ici utilisé). Pour tout 1-simplexe f de X, on définit :

$\psi_{\lambda}(f)=\lambda_{f(0)}*f*\lambda_{f(1)}^{-1}\in \pi_1(X,x)$.

Le lacet $\psi_{\lambda}(f)$ dépend malheureusement du choix des chemins $\lambda_y$ : il en va de même de sa classe dans l'abélianisé du groupe fondamental. L'application $\psi_{\lambda}$ induit une application Z-linéaire :

$\Psi_{\lambda}:C_1(X,\mathbf{Z})\rightarrow \pi_1(X,x)^{ab}$.

Des arguments techniques (détaillés ci-dessous) montrent les résultats remarquables suivants :

• Le noyau de $\Psi_{\lambda}$ contient les 1-bords (bords de 2-simplexes).
• Malgré la dépendance déjà soulignée en les choix des chemins utilisés, l'application $\Psi_{\Lambda}$ en restriction aux 1-cycles en est indépendante.

De fait, $\Psi_{\lambda}$ induit par restriction et passage au quotient un morphisme $\Psi$ indépendant de $\lambda$ :

$\Psi:H_1(X,\mathbf{Z})\rightarrow \pi(X,x)^{ab}$.

Ce morphisme $\Psi$ a été construit pour être l'inverse du morphisme d'Hurewicz $\Phi=\Phi_X$ :

• Pour un élément $\alpha$ de $\pi_1(X,x)^{ab}$, représenté par un lacet f de X en x, l'image $\Phi_X(f)$ est représentée par f, vu comme un 1-cycle. Par définition, $\Psi\Phi(\alpha)$ est la classe de $\lambda_x*f*\lambda_x^{-1}$, conjugué de f. Donc dans l'abélianisé, leurs classes sont égales : $\Psi\Phi(\alpha)=\alpha$.
• Pour tout 1-simplexe f, $\lambda_{f(0)}*f*\lambda_{f(1)}^{-1}$ est égal à f modulo un 1-bord (voir l'argument ci-dessous). De suite, si $\sigma$ est un 1-cycle, $\Phi\circ\Psi_{\lambda}(\sigma)$ est égal à $\sigma$ modulo une somme de 1-bords. Autrement dit, $\Phi\circ\Psi$ vaut l'identité sur $H_1(X,\mathbf{Z})$.

Annulation des 1-bords.

Soit $h:\Delta_2\rightarrow X$ un 2-simplexe. Introduisons les "côtés" de h définis par :

• $f_0(s)=h(0,s,1-s)$ ;
• $f_1(s)=h(s,0,1-s)$ ;
• $f_2(s)=h(s,1-s,0)$.

Le bord de h est précisément $f_0-f_1+f_2$. Or, un calcul donne :

$\Psi_{\lambda}(\partial h)=\left[\lambda_{f_0(0)}*f_0*\lambda_{f_0(1)}^{-1}\right]-\left[\lambda_{f_1(0)}*f_1*\lambda_{f_1(1)}^{-1}\right] +\left[\lambda_{f_2(0)}*f_2*\lambda_{f_2(1)}^{-1}\right]$

$=\left[\lambda_{f_0(0)}*f_0*\lambda_{f_0(1)}^{-1}\right]+\left[\lambda_{f_2(0)}*f_2*\lambda_{f_2(1)}^{-1}\right] +\left[\lambda_{f_1(1)}*f_1^{-1}*\lambda_{f_1(0)}^{-1}\right]$

$=\left[\lambda_{f_0(0)}*f_0*f_2*f_1^{-1}*\lambda_{f_0(0)}^{-1}\right]$

où on a utilisé $f_0(1)=f_2(0)$, $f_2(1)=f_1(1)$, et $f_1(0)=f_0(1)$. Comme $f_0*f_2*f_1^{-1}$ borde h, ce lacet est contractible, et représente donc l'élément unité de $\pi(X,f_0(0))$. Or, $c\mapsto \lambda_{f_0(0)}*c*\lambda_{f_0(0)}^{-1}$ définit un morphisme de groupes $\pi_1(X,f_0(y))\rightarrow \pi_1(X,x)$ et le calcul ci-dessus montre qu'il envoie la classe de $f_0*f_2*f_1^{-1}$ sur $\Psi_{\lambda}(\partial h)$. De suite :

$\Psi_{\lambda}(\partial h)=e\in \pi_1(X,x)$ et donc, $\Psi(\partial h)=0\in \pi_1(X,x)^{ab}$.

 

Indépendance en $\lambda$.

En effet, si $\mu$ est un autre choix de chemins d'origine x, et si $\sigma=\sum_{i=1}^kn_i.f_i$ est un 1-cycle de X (avec $n_i=\pm 1$), alors :

$\Psi_{\mu}\left[\sum_{i=1}^kn_i.f_i\right]=\sum_{i=1}^kn_i.\left[\mu_{f_i(0)}*f_i*\mu_{f_i(1)}^{-1}\right]$

$=\sum_{i=1}^kn_i.\left(\left[\mu_{f_i(0)}*\lambda_{f_i(0)}^{-1}\right] + \left[\lambda_{f_i(0)}f_i*\lambda_{f_i(1)}^{-1}\right]+\left[\lambda_{f_i(1)}^{-1}\mu_{f_i(1)}^{-1}\right]\right)$

$=\sum_{i=1}^kn_i.\left[\mu_{f_i(0)}*\lambda_{f_i(0)}^{-1}\right]-\sum_{i=1}^k \left[\mu_{f_i(1)}*\lambda_{f_i(1)}^{-1}\right]+\Psi_{\lambda}\left[\sum_{i=1}^kn_i.f\right]$

$=\Psi_{\lambda}\left[\sum_{i=1}^kn_i.f\right]$

C'est seulement dans la dernière égalité où le fait que $\sigma$ soit un 1-cycle a été utilisé pour annuler les termes : en tenant compte des signes, il y a autant d'indices i avec $f_i(0)=x$ que d'indices i avec $f_i(y)=y$.