Nombre de Betti

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En mathématiques, les nombres de Betti $B_k$ sont des invariants topologiques introduits par Enrico Betti, $B_k$ correspond au rang du k-ième groupe d'homologie de l'espace topologique considéré.

Définition

Plus formellement, chaque groupe (abélien) d'homologie

$H_n = {\rm Ker } (\partial_n) / {\rm Im } (\partial_{n+1})$

admet un rang (en), c'est-à-dire l'entier $r(n)$ tel que

$H_n/{\rm Tor}(H_n) =\Z^{r(n)}.$

C'est cet entier $r(n)$ qui est appelé n-ième nombre de Betti, alors noté $B_n$.

Exemple

Pour le cas du tore T, nous avons les groupes d'homologie suivants :

$H_0 =\Z$

$H_1 =\Z^2$

$H_2 =\Z$

$H_k = 0\quad\text{pour}\quad k > 2,$

donnant les nombres de Betti suivant : $B_0 = 1$, $B_1 = 2$, $B_2 = 1$, $B_k = 0$.