CW-complexe

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En topologie algébrique, un CW-complexe est un type d'espace topologique, défini par J. H. C. Whitehead[1],[2] pour répondre aux besoins de la théorie de l'homotopie. L'idée était de travailler sur une classe d'objets plus grande que celle des complexes simpliciaux et possédant de meilleures propriétés du point de vue de la théorie des catégories, mais présentant comme eux des propriétés combinatoires se prêtant aux calculs.

Le nom CW provient du qualificatif de l'espace topologique, en anglais : closure-finite weak topology, pour « à fermeture finie » et « topologie faible ».

Définitions[modifier | modifier le code]

Grossièrement, un CW-complexe est obtenu à partir d'un ensemble de 0-cellules, ou « sommets », en recollant successivement des « cellules » fermées (images continues de boules euclidiennes fermées) de dimensions 1, 2, …, le long de leurs bords.

Plus précisément[3],[4], une structure de CW-complexe sur un espace X est la donnée d'une suite croissante (Xn) de sous-espaces (Xn est appelé le n-squelette (en) de X) telle que :

On démontre qu'alors[5],[6] :

  • chaque « cellule ouverte » (c'est-à-dire chaque image de l'intérieur d'une boule fermée par l'un des recollements) est canoniquement homéomorphe à la boule ouverte correspondante ;
  • les cellules ouvertes et les sommets forment une partition de X ;
  • X est séparé ;
  • tout compact de X (en particulier toute cellule fermée) ne coupe qu'un nombre fini de cellules ouvertes (d'où le nom de « à fermeture finie »).

Le n-squelette Xn est la réunion des n-cellules fermées de dimensions inférieures ou égales à n. Si X est réduit à Xn, il est dit de dimension n (il est dit de dimension infinie s'il n'est réduit à aucun de ses squelettes). X est dit fini s'il n'a qu'un nombre fini de cellules.

Une réunion fermée de cellules de X est appelée un sous-complexe de X (c'est encore un CW-complexe). Le n-squelette de X est donc le sous-complexe maximum de dimension inférieure ou égale à n.

La définition d'un complexe cellulaire est plus générale en ce qu'elle autorise des recollements de cellules dans un ordre quelconque par rapport aux dimensions, mais tout complexe cellulaire est homotopiquement équivalent à un CW-complexe[7].

Exemples et contre-exemples[modifier | modifier le code]

  • La structure standard de CW-complexe (de dimension 1) sur la droite réelle a pour 0-squelette l'ensemble ℤ des entiers et pour 1-cellules les intervalles [n, n + 1] pour n entier. De même, la structure standard sur ℝn, de dimension n, est le réseau qui a des cellules cubiques produits des 0- et 1-cellules de ℝ.
  • Tout complexe simplicial, en particulier tout polyèdre ou tout graphe, est naturellement muni d'une structure de CW-complexe. (Les graphes cubiques sont, en un certain sens, les CW-complexes de dimension 1 « génériques ».)[réf. nécessaire] Mais il existe des CW-complexes non triangulables[8].
  • La CW-structure la plus simple de la n-sphère Sn a deux cellules : une 0-cellule et une n-cellule, ce qui suffit à décrire le CW-complexe. On peut en construire bien d'autres, en prenant comme (n – 1)-squelette Sn – 1 (muni de l'une de ses CW-structures, au choix), servant d'équateur, sur lequel on recolle deux hémisphères : deux n-cellules, le long de l'application identité de Sn – 1.
  • L'espace projectif réel Pn(ℝ) a une CW-structure avec une cellule en chaque dimension inférieure ou égale à n : l'application d'attachement de sa n-cellule à son (n – 1)-squelette Pn – 1(ℝ) est la projection canonique, de Sn – 1 sur son 2-quotient Pn – 1(ℝ).
  • Les grassmanniennes ont une structure de CW-complexe dont les cellules sont indexées par les symboles de Schubert (en)[9].
  • Toute variété différentielle et toute variété algébrique complexe a le type d'homotopie d'un CW-complexe.
  • L'espace {re2πiθ | 0 ≤ r ≤ 1, θ ∈ ℚ} ⊂ ℝ2 a le type d'homotopie d'un point mais n'a pas de structure de CW-complexe, car il n'est pas localement contractile.
  • La boucle d'oreille hawaïenne (en) n'a même pas le type d'homotopie d'un CW-complexe car elle n'est pas semi-localement contractile[10], ni même semi-localement simplement connexe.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Tout CW-complexe est localement contractile.
  • Tout compact d'un CW-complexe X est contenu dans un sous-complexe fini[6] et X est compactement engendré. Il est compact si et seulement s'il est fini[11].
  • Tout CW-complexe est paracompact[12] donc normal. Il est même parfaitement normal[13].
  • Un CW-complexe est localement compact si et seulement s'il est « localement fini », c'est-à-dire si son recouvrement par les cellules fermées est localement fini, ou encore si toute cellule fermée ne rencontre qu'un nombre fini de cellules fermées, ou si tout point est intérieur à un sous-complexe fini[14],[15].
  • Un CW-complexe est connexe si et seulement si son 1-squelette l'est. Dans ce cas, il est métrisable si et seulement s'il est localement fini[14].
  • Le produit X×Y de deux CW-complexes est le CW-complexe construit sur le produit cartésien de X et Y et dont chaque cellule est le produit d'une cellule de X par une cellule de Y. Sa topologie est celle du produit dans la catégorie des espaces compactement engendrés. Elle est en général plus fine que la topologie produit, mais coïncide avec cette dernière dans les cas les plus courants : il suffit que X ou Y soit fini ou que X et Y soient dénombrables, et il suffit même que ces propriétés soient vérifiées localement[13],[16].
  • Tout quotient séparé d'un CW-complexe par une relation d'équivalence « cellulaire » est un CW-complexe (par exemple : toute identification d'une réunion de sous-complexes à un point, comme dans le cône ou la suspension, ou même le smash-produit de deux CW-complexes lorsque leur produit en est un). Plus généralement, tout recollement Xf Y d'un CW-complexe sur un autre le long d'une application cellulaire est un CW-complexe[17].
  • Tout revêtement d'un CW-complexe est encore un CW-complexe[18].
  • Il ne suffit pas que X et Y soient des CW-complexes pour que l'espace C(X, Y) des applications continues de X dans Y (muni de la topologie compacte-ouverte) en soit un. Mais si X et Y ont le type d'homotopie de CW-complexes et si X est compact alors C(X, Y) a le type d'homotopie d'un CW-complexe[19].

Homologie et cohomologie[modifier | modifier le code]

La cohomologie et l'homologie singulières des CW-complexes sont aisément calculables via l'homologie cellulaire, qui est une théorie homologique pour la catégorie des CW-complexes et des applications cellulaires. Pour calculer une (co)homologie extraordinaire d'un CW-complexe, la suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch est l'analogue de l'homologie cellulaire.

Exemples choisis parmi les CW-complexes particuliers évoqués plus haut :

  • Pour la sphère Sn (n > 0), si l'on choisit la décomposition en seulement une 0-cellule et une n-cellule, le complexe de chaînes cellulaires C et son homologie sont donnés par :
    H_k(S^n)=C_k=\begin{cases}\Z&\text{ si }k\in\{0,n\},\\0&\text{ sinon,}\end{cases}
    puisque toutes les différentielles sont nulles.
    On trouve bien sûr la même homologie en utilisant, par exemple, la décomposition équatoriale de façon récursive, donc avec deux cellules en chaque dimension de 0 à n, qui donne comme complexe de chaînes
    C_k=\begin{cases}\Z^2&\text{ si }0\le k\le n,\\0&\text{ sinon}\end{cases}\quad\text{et}\quad\partial_k=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix},
    exact sauf en C0 et en Cn.
  • Pour l'espace projectif réel Pn(ℝ), la même méthode donne :
    C_k=\begin{cases}\Z&\text{ si }0\le k\le n\\0&\text{ sinon}\end{cases}\quad\text{et}\quad\partial_k=1+(-1)^k:C_k\to C_{k-1}\quad
    donc
    H_k(P_n(\R)) =
\begin{cases}
\Z&\text{ si }k=0\text{ ou si }k=n\text{ impair,}\\
\Z_2&\text{ si }k\text{ impair }\in]0,n[,\\
0&\text{ sinon.}
\end{cases}

Équivalences simples d'homotopie[modifier | modifier le code]

Certaines équivalences d'homotopie, dites simples (en)[20], permettent de remplacer un CW-complexe X par un autre, ayant moins de cellules.

Le 1-squelette de X est un graphe. Soit F une forêt (une réunion disjointe d'arbres) maximale dans ce graphe. En notant xy lorsque x et y sont dans un même arbre de cette forêt, l'application XX/∼ est une équivalence d'homotopie car les arbres sont contractiles. Le quotient X/∼ est un CW-complexe dont les cellules correspondent aux cellules de X non contenues dans F. En particulier, le 1-squelette de X/∼ est une union disjointe de bouquets de cercles. Par exemple si X était connexe, le 0-squelette de X/∼ sera réduit à un point.

En montant dans l'échelle de connexité, supposons maintenant que X est un CW-complexe simplement connexe dont le 0-squelette est réduit à un point. On peut alors trouver un CW-complexe homotopiquement équivalent dont le 1-squelette est, lui aussi, un singleton. Pour ce faire, on considère X1 et l'attachement des 2-cellules comme une présentation de groupe et l'on mime les transformations de Tietze (en) (ajouts et retraits de générateurs et de relations, modifiant une présentation sans changer le groupe) par des ajouts et retraits de cellules.

Pour transformer un CW-complexe n-connexe X en un CW-complexe homotopiquement équivalent dont le n-squelette est un singleton, on utilise pour n > 1 les mêmes idées, en remplaçant les transformations de Tietze sur une présentation du groupe fondamental par des opérations élémentaires sur les matrices de présentation du complexe cellulaire de X.

Catégorie homotopique[modifier | modifier le code]

La catégorie homotopique (en) des CW-complexes pointés (ou de leurs variantes ci-dessous) est un cadre adapté pour la théorie de l'homotopie :

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « CW complex » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) J. H. C. Whitehead, « Combinatorial homotopy. I », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 55,‎ 1949, p. 213-245 (lire en ligne)
  2. (en) J. H. C. Whitehead, « Combinatorial homotopy. II », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 55,‎ 1949, p. 453-496 (lire en ligne)
  3. Michel Zisman, Topologie algébrique élémentaire, Armand Colin,‎ 1972, p. 113
  4. (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, CUP,‎ 2001 (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 5
  5. Zisman 1972, p. 114 et 119
  6. a et b Hatcher 2001, p. 519-521
  7. (en) J. Peter May et Kathleen Ponto, More Concise Algebraic Topology: Localization, Completion, and Model Categories, UCP,‎ 2011 (ISBN 978-0-22651179-5, lire en ligne), p. 52 et 358
  8. (en) A. T. Lundell et S. Weingram, The Topology of CW Complexes, Van Nostrand,‎ 1969 (ISBN 978-0-442-04910-2, lire en ligne), p. 81 en donne un exemple qui est un CW-complexe fini de dimension 3.
  9. (en) Allen Hatcher, Vector Bundles and K-Theory,‎ 2009 (lire en ligne), p. 31-34
  10. (en) Bruce Hughes et Andrew Ranicki (en), Ends of Complexes, CUP,‎ 1996 (ISBN 978-0-521-57625-3, lire en ligne), p. 81
  11. Zisman 1972, p. 120
  12. Hatcher 2009, p. 35
  13. a et b Lundell et Weingram 1969, p. 55-58
  14. a et b Lundell et Weingram 1969, p. 9 et 51-53
  15. (en) Hans-Joachim Baues et Antonio Quintero, Infinite Homotopy Theory, Springer,‎ 2001 (ISBN 978-0-792-36982-0, lire en ligne), p. 140
  16. (en) Yoshio Tanaka, « Products of CW-complexes », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 86,‎ 1982, p. 503-507 (lire en ligne)
  17. Lundell et Weingram 1969, p. 32, 35, 59-60 et 62
  18. Hatcher 2001, p. 529
  19. (en) John Milnor, « On spaces having the homotopy type of a CW-complex », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 90,‎ 1959, p. 272-280 (lire en ligne)
  20. J. H. C. Whitehead, « Simple Homotopy Types », Amer. J. Math., vol. 72, no 1,‎ janvier 1950, p. 1-57 (lire en ligne)
  21. (en) Rudolf Fritsch (de) et Renzo Piccinini, Cellular Structures in Topology, CUP,‎ 1990 (ISBN 978-0-521-32784-8, lire en ligne), p. 226
  22. Lundell et Weingram 1969, p. 68

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Max K. Agoston, Computer Graphics and Geometric Modelling, vol. 2, Springer,‎ 2005 (ISBN 978-1-85233817-6, lire en ligne), chap. 7 (« Algebraic Topology »)