Vecteur unitaire

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Cet article court présente un sujet plus développé dans : Norme (mathématiques).

Dans un espace vectoriel normé (réel ou complexe) E, un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1.

  • Si le corps des scalaires est R, deux vecteurs unitaires v et w sont colinéaires si et seulement si v = w ou v = w.
  • Si le corps des scalaires est C, e, alors les vecteurs unitaires colinéaires à v sont αv où α est un complexe de module 1.

Les vecteurs unitaires permettent de définir la direction et le sens d'un vecteur non nul de E. Tout vecteur non nul v est la multiplication du vecteur unitaire u = v/║v║ par un nombre réel strictement positif, à savoir la norme ║v║ de v.

v = ║vu.

En physique, pour dénoter les vecteurs unitaires, il est usuel[réf. nécessaire] d'utiliser un accent circonflexe : . En mécanique quantique, les états sont des vecteurs unitaires d'espaces de Hilbert. En particulier, les fonctions d'onde sont des fonctions sur R3 de carré sommable et de norme L2 égale à 1.

Dérivation des vecteurs unitaires[modifier | modifier le code]

Soit E un espace euclidien ou hermitien, et soit une fonction dérivable te(t) à valeurs dans E, telle que pour tout t, e(t) est un vecteur unitaire. Alors le vecteur dérivé e'(t) est orthogonal à e(t). C'est le cas notamment pour les vecteurs de toutes les bases orthonormales mobiles (en).

En effet, le carré de la norme de e(t) est une fonction constante en donc nulle. Sa dérivée est

Par définition de l'orthogonalité, les vecteurs e(t) et e'(t) sont deux vecteurs orthogonaux pour tout t.