Tourbillon (physique)

Tourbillon d'eau dans une bouteille.

Un tourbillon est, en dynamique des fluides, une région d'un fluide dans laquelle l'écoulement est principalement un mouvement de rotation autour d'un axe, rectiligne ou incurvé. Ce type de mouvement s'appelle écoulement tourbillonnaire. On en observe à toutes les échelles, depuis le tourbillon de vidange d'une baignoire jusqu'à ceux des atmosphères des planètes, en passant par les sillages observés au voisinage d'un obstacle situé dans un écoulement liquide ou gazeux. Une fois formés, les tourbillons peuvent se déplacer, s'étirer, se tordre et interagir de manière complexe.

Une façon simple de visualiser le tourbillon est de considérer un fluide en mouvement dans lequel on délimite un petit volume supposé rigide. Si ce volume tourne par rapport à un référentiel au lieu d'être en translation, il appartient à un tourbillon.

Terminologie

Mouvement d'un petit volume (rigide) de fluide : translation simple à gauche ; rotation à droite, caractéristique du tourbillon.

La terminologie est assez fluctuante, pour une part à cause de la contamination par l'anglais. Avant toute considération scientifique, un tourbillon est un mouvement de rotation d'une particule fluide tel que décrit dans le schéma ci-contre. En langage technique, le mot est très généralement associé au vecteur tourbillon porté par l'axe de rotation qui se calcule comme le rotationnel de la vitesse et a une intensité double de celle du vecteur rotation. En français, cette intensité de la rotation est parfois considérée comme la vorticité. Qualitativement, ce mot est plutôt associé à une zone tourbillonnaire (nappe de vorticité). En anglais, le mot vorticity désigne généralement un champ de (pseudo-)vecteurs tourbillons, l'effet de ceux-ci dans une zone finie étant mesuré, comme en français, par la « circulation ».

Le mot vortex, qui représente généralement en français un tourbillon unique, possède en anglais un sens plus proche de tourbillon.

Vecteur tourbillon

Selon la présentation la plus courante dans la littérature anglophone, le vecteur tourbillon ${\vec {\omega }}$ est défini comme le rotationnel du champ de vitesse du fluide :

${\vec {\omega }}={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\vec {V}}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {V}}={\begin{pmatrix}{\partial V_{z}/\partial y}-{\partial V_{y}/\partial z}\\{\partial V_{x}/\partial z}-{\partial V_{z}/\partial x}\\{\partial V_{y}/\partial x}-{\partial V_{x}/\partial y}\end{pmatrix}}$

où ${\vec {V}}$ est le vecteur tri-dimensionnel de vitesse selon les coordonnées x, y et z et ${\vec {\nabla }}$ l'opérateur nabla.

Une autre approche (plus courante dans la littérature francophone) définit la vorticité ${\vec {\omega }}$ comme le rotationnel de la vitesse du fluide, et le tourbillon ${\vec {\Omega }}$ comme la moitié de la vorticité, ce qui correspond à la vitesse instantanée de rotation :

${\vec {\Omega }}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\vec {V}}$

Dans les deux approches, le tourbillon est une quantité vectorielle dont la direction est le long de l'axe de rotation du fluide. Ainsi, pour un flux à deux dimensions quelconque (a et b), le vecteur de tourbillon se retrouve dans l'axe perpendiculaire au plan de rotation (c) et l'équation se réduit à :

${\vec {\omega }}={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\vec {V}}_{ab}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {V}}_{ab}=\left({\frac {\partial V_{b}}{\partial a}}-{\frac {\partial V_{a}}{\partial b}}\right){\vec {c}}$

Lorsque le vecteur tourbillon est nul en tout point, on parle d'écoulement non tourbillonnaire (ou irrotationnel). Lorsqu'il est non nul dans une région, l’écoulement est dit tourbillonnaire.

Utilisations

Météorologie et océanographie

En météorologie et en océanographie physique, le tourbillon est une propriété importante du comportement à grande échelle de l'atmosphère et de l'océan. Les deux circulations, circulation atmosphérique et circulation océanique, étant surtout horizontales, le vecteur tourbillon pour ces deux milieux est généralement vertical. Donc si on reprend la formulation précédente, on obtient le tourbillon relatif en un point au-dessus de la Terre ($\scriptstyle V_{r}$ pour vitesse relative) :

$\zeta ={\frac {\partial v_{r}}{\partial x}}-{\frac {\partial u_{r}}{\partial y}}$

Cette expression ne tient cependant pas compte du mouvement du référentiel qu'est la Terre. En effet, cette dernière est en rotation elle-même dans l'espace et nous devons ajouter la rotation induite par la force de Coriolis pour obtenir le tourbillon absolu ($\scriptstyle V_{a}$ pour vitesse absolue) :

$\eta ={\frac {\partial v_{a}}{\partial x}}-{\frac {\partial u_{a}}{\partial y}}$

En utilisant par le paramètre de Coriolis, $\scriptstyle f=\scriptstyle 2\scriptstyle \Omega \scriptstyle \sin \scriptstyle \phi$ où $\scriptstyle \Omega$ est la rotation terrestre et $\scriptstyle \phi$ la latitude, nous obtenons :

$\eta ={\frac {\partial v_{r}}{\partial x}}-{\frac {\partial u_{r}}{\partial y}}+f=\zeta +f\qquad \qquad$

Pour l'atmosphère et l'océan, les déplacements étant horizontaux, ce paramètre est souvent appelé tourbillon vertical planétaire, le tourbillon planétaire étant le double du vecteur rotation terrestre, soit $\scriptstyle 2\scriptstyle \Omega$. Dans l'hémisphère nord, le tourbillon est positif pour une rotation anti-horaire (cyclonique) et négative pour une rotation horaire (anti-cyclonique). C'est l'opposé dans l'hémisphère sud. Le tourbillon en un point de l'atmosphère n'est pas conservatif en lui-même car l'épaisseur de la couche d'air peut être étirée ou compressée par le mouvement de l'air (ex. passage au-dessus d'une montagne). Cependant, le tourbillon total dans la colonne d'air est lui conservateur et on le nomme tourbillon potentiel. En effet, en général l'air subit une compression ou décompression adiabatique, l'entropie est conservée et le tourbillon total de la colonne ne changera pas. Le tourbillon potentiel devient donc une façon de suivre les mouvements verticaux dans une masse d'air avec température potentielle constante.

En météorologie, l'une des approximations est celle de l'atmosphère barotrope où il n'y a pas de variation de température dans une masse d'air. L'équation de tourbillon barotrope est donc une façon simple de prévoir le déplacement des creux et crêtes d'onde longue à une hauteur de 50 kPa. Dans les années 1950, le premier programme de prévision numérique du temps utilisa cette équation. Mais c'est l'advection de tourbillon positive dans un système barocline qui crée la cyclogénèse, le développement des dépressions des latitudes moyennes, et l'advection négative qui génère les anticyclones. Elle fait partie des équations primitives atmosphériques qui sont utilisés dans les modèles modernes. En océanographie, les tourbillons sont particulièrement étudiés pour leur capacité à conserver les propriétés de salinité et de température dans le temps au sein d'une lentille d'eau de quelques kilomètres de diamètre et de plusieurs mètres de hauteur. On peut par exemple citer les remous (« eddies » en anglais) qui sortent de la mer Méditerranée par le canal de Gibraltar et en quelques semaines/mois arrivent dans les Caraïbes. Ces tourbillons sont recherchés par les sous-marins militaires pour cacher leur signature sonar. En effet la différence de température et de salinité du tourbillon crée une interface opaque.

Mécanique des fluides

Généralités

Petit remous dans une rivière de l'Ohio

Pour voir des tourbillons il suffit d'observer une rivière dont le fond n'est pas trop homogène. Il s'agit d'un phénomène très courant dans tous les aspects de la mécanique des fluides. Il complique souvent l'analyse des phénomènes au point de conduire à inventer l'approximation de l’écoulement irrotationnel qui couvre la majeure partie du domaine considéré, les zones tourbillonnaires recevant un traitement spécifique. Loin de toute paroi un écoulement est généralement laminaire : les particules fluides voisines à un instant donné restent voisines aux instants suivants et les seules pertes d'énergie sont liées à la viscosité du fluide. Dans des circonstances différentes il peut devenir turbulent avec, dans une certaine zone, une apparence très désordonnée qui se traduit par une dissipation d'énergie. Celle-ci est liée à des tourbillons dont la taille, la localisation et l'orientation varient constamment.

La transition laminaire/turbulent se produit souvent d'une manière progressive, le cas laminaire correspondant aux très faibles vitesses. Dans une conduite les pertes de charge sont liées à la viscosité qui crée progressivement au voisinage de la paroi une couche limite dans laquelle se concentrent les pertes d'énergie par frottement visqueux. Dans le cas des corps profilés plongés dans un écoulement la transition se produit lorsque la vitesse, plus précisément le nombre de Reynolds, augmente.

Outre le cas général de la turbulence, il existe des cas spécifiques de tourbillons.

Tourbillons de portance

Tourbillon de bout d'aile montré par de la fumée

Vortex visible dans le sillage d'un Boeing 737-800 de transavia.com

Les pertes d'énergie sur un profil d'aile d'avion se traduisent par une résistance à l'avancement appelée traînée dans la direction de l'écoulement mais le profil ne peut se contenter de consommer de l'énergie pour avancer, il doit également fournir une portance pour sustenter l'avion. Celle-ci est indépendante du nombre de Reynolds : elle est liée à la circulation, intégrale curviligne de la vitesse le long du contour du profil, par le théorème de Kutta-Jukowski et peut s'interpréter comme simulant un gros tourbillon qui permet de faire disparaître la vitesse infinie au bord de fuite.

Le résultat obtenu pour un profil s'applique à une aile d'envergure infinie (de grande envergure comme sur les planeurs). Sur une aile d'envergure finie d'autres tourbillons se forment en bout d'aile pour compliquer le phénomène et modifier la portance.

Tourbillons de Bénard-Karman

Animation du phénomène.

Lors d'un écoulement autour d'un corps non profilé, comme un cylindre à section circulaire, la transition entre les régimes laminaire et turbulent est remplacée par un régime tourbillonnaire dans lequel l'énergie de translation se transforme en énergie de rotation avant de devenir une énergie de dissipation en régime turbulent. Deux tourbillons symétriques apparaissent à une certaine vitesse, grossissent symétriquement lorsque celle-ci croît jusqu'à ce que l'un d'eux expulse l'autre qui est alors remplacé par un nouveau. C'est le phénomène de tourbillons alternés nommé allée de tourbillons de Bénard-Karman dont la fréquence d'émission (ou de détachement) peut être caractérisée par un nombre adimensionnel, le Nombre de Strouhal. Si la fréquence de détachement des tourbillons est proche de la fréquence propre d'un câble elle peut exciter une résonance qui le fait « chanter » (par exemple dans le cas des orgues éoliennes). Mais en général ce sera les détachements successifs et périodiques des tourbillons de Bénard-Karman qui pourront s'entendre (cas du fameux "fil qui chante", fil du télégraphe ainsi nommé par les amérindiens).

Histoire

Au XVIIe siècle, la théorie des tourbillons fut pendant un temps une rivale de la Loi universelle de la gravitation d'Isaac Newton, puis cette théorie basée sur des tourbillons a été abandonnée.

Bibliographie

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• (en) Andrew J. Majda, Andrea L Bertozzi et D. G. Crighton, Vorticity and Incompressible Flow, Cambridge University Press, 2001, 1^re éd. (ISBN 0-521-63948-4).
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