Champ (mathématiques)

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Un champ est une application qui associe aux points d'un objet, généralement multidimensionnel, des valeurs scalaires, vectorielles ou tensorielles.

Vision physique et vision mathématique des champs[modifier | modifier le code]

La notion de champ est d'origine physique, et elle sert à décrire des quantités variant en fonction de leur point de définition : champ de température, champ de densité, champ de vitesse, champ de forces, champ de pression, champ de gravitation, champ électrique, champ magnétique.

Comme la physique s'intéresse à des phénomènes d'observation, un des fondements de l'étude des champs en physique est la notion suivante de symétrie : quel que soit le choix du système de coordonnées qu'on choisit pour faire une description analytique, les phénomènes physiques ne changent pas.

Cette notion permet aux mécaniciens et aux physiciens de faire une différence entre vecteurs et pseudo-vecteurs. Les seconds changent de sens avec l'orientation de l'espace, et du point de vue mathématique, une vision simple consiste à définir les pseudo-vecteurs comme un couple formé d'un vecteur et d'un signe, + ou -, avec une relation d'équivalence , le signe étant caractéristique de l'orientation de l'espace. Une vision plus savante dira qu'un pseudovecteur est une densité, c'est-à-dire un tenseur d'une espèce particulière.

Plus généralement, que ce soit en mécanique classique ou relativiste, on a besoin de prendre des coordonnées curvilignes. La notion de covariance d'un champ exprime précisément que la physique est indépendante du choix de coordonnées. Il sera donc implicite pour un physicien qu'un champ est covariant.

Mais les mathématiciens décomposent ces notions, et en particulier ils ne posent pas d'entrée de jeu qu'un champ satisfait des propriétés de symétrie et, en particulier, de covariance. En revanche, ils vont prendre de multiples précautions pour décrire un champ dans le cas non scalaire, c'est-à-dire vectoriel ou tensoriel, dans le but de construire des notions intrinsèques, c'est-à-dire indépendantes du choix de coordonnées.

Ainsi, si est un ouvert de l'espace , un champ scalaire est une application de dans , et un champ vectoriel ou champ de vecteurs est une application d' dans . Enfin un champ de tenseurs est une application de dans l'espace vectoriel des applications -linéaires de dans . Dans cette dernière définition, est un espace de dimension , est son dual, il y a j facteurs et facteurs , avec bien sûr .

Il existe des versions complexes de cet ensemble de définitions : il suffit de remplacer par dans les ensembles d'arrivée.

Champ scalaire[modifier | modifier le code]

Il n'y a guère de difficulté à concevoir un champ scalaire, à partir d'un exemple physique : la température dans une cuisine. Il fait chaud à côté des radiateurs en hiver, et à côté des appareils de cuisson, quand ils fonctionnent. Il fait chaud aussi près d'une casserole chaude, ou d'une cafetière qui vient d'être remplie. Mais il fait froid dans les assiettes où on vient de poser deux boules de glace. En revanche, il fait chaud derrière le frigo. N'oublions pas que s'il y a des gens, l'air chauffe au contact de leur peau, et de leur vêtement, sauf par un jour de canicule.

La température est bien un nombre qui varie en fonction du lieu et du temps.

Champ de vecteurs tangents sur une surface[modifier | modifier le code]

L'exemple physique le plus simple d'un champ de vecteurs tangent est celui d'un champ de vitesses : si des particules se déplacent sur une surface qui n'est pas plane, leurs vitesses sont tangentes à la surface. En supposant ces particules si fines et si nombreuses qu'on puisse les représenter par un modèle continu, leurs vitesses moyennes dans de très petits volumes donnent une bonne idée de ce que serait un champ de vecteurs tangent à la surface.

Avant de développer la notion de champ sur une variété abstraite, il faut étudier un cas concret : un champ de vecteurs tangent sur une surface plongée dans . Localement, elle peut être paramétrée par trois fonctions continûment différentiables , avec dans un ouvert de .

Notons pour simplifier

.

Les forment donc un champ de vecteurs à 3 composantes sur .

Le plan tangent en est engendré par les vecteurs

si ces deux vecteurs sont indépendants. On fait cette hypothèse systématiquement. Cette condition porte sur la nature de la description par les fonctions de et .

Par conséquent, un vecteur tangent en à la surface est une combinaison linéaire de la forme

Les coordonnées locales d'un champ tangent à la surface sont donc un couple de deux nombres et .

Si localement, admet un autre paramétrage , avec dans un ouvert , on note ρ le champ de vecteurs de coordonnées ξ, η, ζ.

Un champ de vecteur tangent aura pour coordonnées et dans ce choix de coordonnées locales.

Supposons, de plus, que l'image par de recoupe l'image par de . Il est alors légitime de se demander comment sont reliées les coordonnées et les coordonnées .

On montre, au moyen du théorème des fonctions implicites que l'identité

avec les conditions

sont des vecteurs indépendants

et

sont des vecteurs indépendants

implique l'existence locale d'un difféomorphisme entre et .

Plus précisément, pour tout choix de et satisfaisant la relation , on peut trouver deux voisinages ouverts respectifs de et , et , et deux applications continûment différentiables de dans et de dans tels que la relation

implique

Si un champ tangent a pour coordonnées dans et dans , alors on peut écrire l'identité

On différentie la relation par rapport à et , et on obtient, grâce au théorème de dérivation des fonctions composées :

et si on substitue ces identités dans la relation donnant les deux représentations du champ de vecteurs, on trouve

On a simplement utilisé le fait que et forment une base.

Une autre manière de noter la relation entre et consiste à utiliser la matrice jacobienne

Avec cette notation, il vient

.

On peut noter un peu différemment ce qui précède. Si on remplace par et par , et de même par et par , alors la formule du changement de carte ci-dessus devient

avec la convention de sommation des indices répétés ; on somme dans la formule ci-dessus, par rapport à .

Le point de vue des physiciens est que la relation ci-dessus caractérise un champ de vecteurs tangents sur la surface . Le point de vue des mathématiciens est un peu différents : il consiste à voir la surface et la collection de ses plans tangents en chaque point comme un nouvel objet : le fibré tangent à . Bien sûr, cela revient au même, il faut seulement être conscient de cette terminologie en lisant la littérature.

Champ de vecteurs cotangents sur une surface[modifier | modifier le code]

On considère encore la surface du paragraphe précédent, mais au lieu de définir un champ de vecteurs tangents, on définit un champ de formes linéaires, agissant sur les vecteurs tangents. En d'autres termes, pour chaque dans , on définit une paire de nombres réels, et on définit l'action de cette forme linéaire par

pour tout champ de vecteurs tangent de coordonnées .

Comme précédemment, on peut se poser la question d'un changement de coordonnées locales. Supposons que dans les coordonnées , le même champ de formes linéaires ait les coordonnées . On doit alors avoir

pour tout champ tangent.

On suppose que et sont liés par la relation

.

Un calcul élémentaire fournit alors

On constate que le changement de coordonnées pour les formes linéaires « va dans le sens contraire » du changement de coordonnées pour les vecteurs.

Les champs de formes linéaires sont aussi appelés, en particulier par les physiciens « vecteurs covariants », puisque le changement de variable va dans le même sens que la transformation  : va des coordonnées grecques aux coordonnées latines, et le champ de formes linéaires en coordonnées latines s'exprime en fonction des coordonnées grecques et de la matrice jacobienne de . En revanche, les coordonnées grecques d'un champ de vecteurs s'expriment en fonction des coordonnées latines de celui-ci et de la matrice jacobienne de .

Si on adopte des notations indexée, avec et comme au paragraphe précédent, et en remplaçant respectivement par et par , la formule de changement de coordonnées devient

,

avec la convention de sommation des indices répétés.

Remarquons que la physique fournit une abondance de champs qui doivent être considérés comme cotangents. L'exemple le plus connu est le champ électrique, puisque, du point de vue dimensionnel, c'est une différence de potentiel par unité de longueur. De plus, il a les propriétés qu'on attend dans cette situation : c'est un vecteur qu'on peut intégrer agréablement le long d'une courbe de l'espace, en en prenant le produit scalaire avec le vecteur tangent. Cette propriété est caractéristique d'une forme différentielle de degré 1. Elle sera vérifiée pour tout champ dérivant d'un potentiel scalaire.

Les mathématiciens construisent un nouvel objet : on attache tous les espaces vectoriels de formes linéaires cotangentes à la surface et on obtient ce qu'on appelle le fibré cotangent à .

Champ de tenseurs sur une surface[modifier | modifier le code]

Maintenant qu'on a compris ce qu'est un champ de vecteurs et un champ de covecteurs sur une surface , on peut définir un champ de tenseurs sur cette même surface, en considérant plusieurs exemples.

On commence par un cas très utile : un champ de tenseurs qui permet de décrire l'élément d'aire. On définit en chaque point de une forme bilinéaire alternée par son action sur les paires de vecteurs tangents. Il suffit pour cela de connaître l'action de sur les deux vecteurs et  :

,

étant une fonction de et . À ce moment-là, si désigne un champ de vecteurs tangent, pour avec pour coordonnées et , on aura

La formule de changement de carte se déduit au moyen du raisonnement du paragraphe précédent : si en coordonnées grecques, la même forme bilinéaire est définie par

alors

la vérification étant immédiate.

On peut alors définir une mesure signée sur en posant, pour une partie mesurable de que la mesure de est donnée par

pourvu que soit entièrement contenu dans un ouvert admettant la paramétrisation par . Si ce n'est pas le cas, on découpe en une réunion disjointe d'ensembles mesurables, chacun d'eux étant contenu dans l'image d'une représentation paramétrique. Les détails de ce découpage importent peu, en vertu des formules de changement de variable.

On remarque que si tous les changements de carte, c'est-à-dire les ont des matrices de déterminant positif, et si les sont tous positifs, la mesure ainsi définie est positive.

On passe maintenant à un autre cas pratique : des tenseurs symétriques contravariants et des tenseurs symétriques covariants.

Un tenseur symétrique covariant est connu par son action sur les vecteurs de base :

les étant des fonctions de et .

Le changement de carte respecte les principes précédents : si le même tenseur covariant a des coordonnées dans les coordonnées latines, et on trouve

Ici le signe en exposant désigne la transposition.

En particulier, si la matrice des coefficients de est définie positive, il en est de même de la matrice des coefficients de .

Prenons comme tenseur covariant celui qu'induit la topologie euclidienne, c'est-à-dire :

Dans ce cas, la longueur d'un vecteur tangent, dont on connaît les coordonnées locales et est donnée par .

On peut aussi définir un tenseur symétrique contravariant, qui servira à mesurer la longueur des vecteurs cotangents. On remarque qu'il est possible de transformer un vecteur tangent en vecteur cotangent à l'aide du tenseur métrique covariant. Il suffit de poser , et on vérifie facilement que les changements de variable se font dans le sens covariant.

Il serait commode dans ce cas que la longueur de mesurée à l'aide du tenseur métrique contravariant soit égale à la mesure de par le tenseur métrique covariant, et cela revient à écrire

et comme cette relation doit avoir lieu pour tout choix de vecteur tangent de coordonnées , cela revient à demander l'identité matricielle , qui revient à imposer que la matrice du tenseur soit l'inverse de la matrice du tenseur .

Une fois ainsi défini, on vérifie immédiatement que le changement de carte est donné par

L'élément de volume peut être, lui aussi, déduit du contexte euclidien. Il suffit de poser

en notant le produit vectoriel ordinaire.

On peut définir un tenseur de n'importe quelle variance sur la surface . Par exemple un tenseur deux fois covariant et une fois contravariant sur sera en chaque point de une application trilinéaire du produit de l'espace tangent par deux copies de l'espace cotangent dans . Notons la base de l'espace tangent et définissons une base de l'espace cotangent par .

À ce moment-là, un tenseur une fois contravariant et deux fois covariant est défini par son action sur tout triplet , donc par le tableau de nombres

et la formule du changement de cartes peut être écrite

en utilisant la convention de sommation des indices répétés, c'est-à-dire en sommant dans le deuxième membre par rapport à et .

Champs sur des variétés[modifier | modifier le code]

La définition de champs sur des variétés est une généralisation des définitions et des calculs précédents.

La plupart des variétés différentielles dont on se sert en pratique peuvent être plongées dans un espace de dimension finie (Théorème de Whitney), mais on peut se représenter une variété abstraite comme suit : elle est formée de morceaux ouverts de l'espace , avec des lois de recollement. Plus précisément, on se donne des ouverts de , et pour toute paire d'indices distincts des applications lisses allant d'un ouvert de dans un ouvert de , sous les conditions suivantes :

  1. est l'application identité de  ;
  2. est l'application identité sur son ensemble de définition pour tout triplet d'indices distincts et .

On définit alors une relation d'équivalence sur la réunion disjointe des en posant

si ou si et appartiennent respectivement a et et l'on a la relation .

En d'autres termes, les sont des morceaux de caoutchouc, on doit coller la languette sur la languette en appliquant chaque point sur un point . Bien sûr il faut que tout ceci reste compatible là où il y a collage de trois languettes ensemble (ou plus), et cela est assuré par la deuxième relation.

La réflexivité et la symétrie de cette relation sont immédiate ; pour la transitivité, il faut remarquer que si et , alors la deuxième condition sur les implique que .

La variété abstraite est alors simplement le quotient de la réunion disjointe des par cette relation d'équivalence.

Pour passer au fibré tangent, et donc définir des champs tangents, on peut se contenter de considérer la réunion disjointe des et la relation d'équivalence s'il y a égalité ordinaire ou si est dans , dans , . C'est une relation symétrique et réflexive. On obtient la transitivité en différentiant la relation .

Pour passer au fibré cotangent, on part aussi de la somme disjointe des , mais cette fois-ci la relation d'équivalence entre et , avec et des formes linéaires, impose .

On laisse au lecteur le soin d'imaginer ce qui se passera avec un tenseur de n'importe quel ordre, c'est-à-dire une forme -linéaire, fois contravariante et fois covariante, ou de se reporter à l'article tenseur.