Fréquence propre

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La fréquence propre d'un système est la fréquence à laquelle oscille ce système lorsqu'il est en évolution libre, c'est-à-dire sans force excitatrice extérieure ni forces dissipatives (frottements ou résistances par exemple). Cette notion est fondamentale pour comprendre les phénomènes d'excitation, d'oscillation et de résonance. Elle est largement utilisée dans tous les domaines de la physique et trouve des applications concrètes dans la conception des horloges, des instruments de musique et en génie parasismique.

De la fréquence propre f0 on déduit la période propre T0 et la pulsation propre ω0 :

Cas général[modifier | modifier le code]

La notion de fréquence propre est un cas extrêmement général d'étude d'un système autour d'une position d'équilibre stable. Si l'on étudie un système quelconque d'énergie potentielle dépendant d'un paramètre alors en linéarisant l'énergie autour d'une position stable , on obtient immédiatement un oscillateur harmonique :

dont la pulsation d'oscillation alors appelée pulsation propre est donnée par (la fréquence étant donnée par ). Dans le cas d'un système amorti, la fréquence propre garde toute sa pertinence car c'est la fréquence pour laquelle les pertes sont minimales, on parlera alors de résonance.

Le terme de fréquence "propre" vient de l'étude des système d'équations linéaires pour lesquelles les modes propres fournissent une base naturelle des solutions du système. Dans le cas d'un système linéaire dépendant d'un nombre de paramètres, on pourrait montrer qu'il existe ainsi modes propres chacun associé à une fréquence propre particulière.

Mécanique[modifier | modifier le code]

Considérons un pendule constitué d'un balancier pouvant osciller librement autour d'un axe horizontal. Dans le cas de l'oscillateur idéal, il n'y a pas de frottement. On peut modéliser le pendule par une masse ponctuelle suspendue au bout d'un fil inextensible et de masse nulle (pendule simple). Les équations auxquelles on aboutit sont identiques dans leur forme mathématique et ce modèle est suffisant pour comprendre le principe d'une horloge à balancier. Si l'on étudie le mouvement du balancier dans le cas du pendule réel, le théorème du moment cinétique donne :

avec est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe , , sa vitesse angulaire de rotation et uΔ est le vecteur unitaire colinéaire à .

Le moment des forces par rapport à l'axe , en l'absence de frottements, se ramène au moment du poids du balancier, on a :

On obtient alors l'équation

d'où avec .

L'étude d'un point matériel suspendu au bout d'un fil de longueur donnant

avec , on obtient une équation qui est mathématiquement identique à celle que l'on obtient dans le cas du mouvement du balancier, justifiant ainsi de se ramener au cas d'une masse ponctuelle suspendue au bout d'un fil pour comprendre le principe des horloges à balancier.

Dans le cas idéal, on se limite aux petites oscillations du pendule au voisinage de sa position d'équilibre, soit , ce qui donne :

Électronique[modifier | modifier le code]

L'exemple le plus courant est celui de la montre à quartz. Pour comprendre le principe d'une horloge à quartz, il faut étudier son composant essentiel : une lamelle de quartz placée entre deux électrodes. Une lamelle de quartz soumise à une compression mécanique voit apparaître une tension à ses bornes et vice-versa (voir piézoélectricité). Le quartz est équivalent à un circuit , , série (, et ne dépendent que des caractéristiques physiques du quartz) placé en parallèle avec une capacité qui correspond à la capacité créée par les deux électrodes qui enserrent le morceau de quartz. Dans le cas idéal, on suppose qu'il n'y a pas de perte d'énergie, c'est-à-dire que :

Le circuit « idéal » est alors un simple circuit , où la capacité équivalente à et en série vérifie :

L'équation correspondant à cette situation s'écrit :

pour l'intensité et

pour la tension aux bornes de ,

Synthèse[modifier | modifier le code]

Les solutions des équations pour l'horloge à balancier aussi bien que pour l'horloge à quartz sont de la même forme :

pour le pendule mécanique « idéal » et


pour un circuit , sans perte énergétique.

La période est . La fréquence propre des oscillations du système ne dépend pas de leur amplitude mais uniquement des caractéristiques de l'oscillateur (et de dans le cas du pendule) :

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Jacques Jouhaneau, Notions Elémentaires d’acoustique, 2°éd., 5.1 et 5.2, CNAM, TEC&DOC, 2000