Frottement fluide

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Un frottement fluide est une force de frottement qui s'exerce sur un objet qui se déplace dans un fluide ; elle dépend de la vitesse relative de l'objet et du fluide. L'exemple typique est celui d'une bille qui tombe dans un liquide visqueux : plus elle va vite, plus la force de frottement fluide qui s'exerce sur elle est importante, jusqu'à ce que soit atteint un régime d'équilibre où la force de frottement compense exactement la force de gravitation : la vitesse de la bille devient alors constante (cf. Loi de Stokes).

Les frottements fluides se produisent dans un grand nombre de contextes, mais il arrive qu'en fonction de l'importance relative des diverses forces en présence, l'influence du frottement fluide soit considérée comme négligeable. Comme toutes les forces de frottement, cette force dépend fortement de la géométrie de l'objet considéré, de sa surface... La science qui étudie les frottements s'appelle la tribologie.

Exemple de frottement visqueux ou frottement fluide[modifier | modifier le code]

Étudions l'exemple cité plus haut de la bille qu'on lâche dans un liquide.

Soit une bille de masse m. Dans certaines conditions (notamment un nombre de Reynolds faible) on peut admettre que la force de frottement fluide qui s'exerce sur elle est de la forme F = - k v, où k représente le coefficient de résistance de l'objet (la bille) dans le liquide en question. k dépend de la forme de l'objet (en l'occurrence pour la bille de son diamètre), de la viscosité du fluide et de la facilité qu'a la matière constituant l'objet de pénétrer le liquide.

L'équation décrivant le déplacement de la bille[1] est donnée par le principe fondamental de la dynamique :

 m \frac{{\rm d}\boldsymbol v}{{\rm d}t}= m \boldsymbol g -k \boldsymbol v ,

g est la pesanteur terrestre. En projetant cette équation sur un axe vertical ascendant (\boldsymbol v=v_y \boldsymbol k ; \boldsymbol g=-g \boldsymbol k ), on a

 m \frac{{\rm d}v_y}{{\rm d}t}=-mg-k v_y,

qui se résout en tant qu'équation différentielle du premier ordre à coefficients constants et à second membre, dont la solution s'écrit

v_y=- \frac{mg}{k}\left(1-e^{ \frac{-k}{m} t} \right )

en prenant comme condition initiale une vitesse nulle (à t = 0). Cette vitesse est bien négative puisque la bille tombe.

 \frac{{\rm d}v_y}{{\rm d}t}=- g e^{ \frac{-k}{m} t}

Au bout d'un certain temps (t ~ 5m/k), la vitesse tend vers une valeur constante (vitesse limite) donnée par

v_{limit} = \frac{ma}{k} = -\frac{mg}{k}.

L'équation peut donc s'écrire:

v_y = (v_{0y} - v_{limit}) e^{\frac{-k}{m} t} + v_{limit}
y_t = \frac{m}{k}(v_{0y} - v_{limit}) (1-e^{\frac{-k}{m} t}) + v_{limit} t + y_0

Ce comportement d'une vitesse qui tend vers une valeur constante tant qu'une force s'exerce a longtemps été érigé en principe fondamental par Aristote, ce qui a ralenti le développement de la mécanique moderne, qui explique que le mouvement peut perdurer en l'absence de forces extérieures (et donc de forces de frottement).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. On fait ici abstraction de la poussée d'Archimède dans un but de simplification.