Intégrale curviligne

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En géométrie différentielle, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe Γ. Il y a deux types d'intégrales curvilignes, selon que la fonction est à valeurs réelles ou à valeurs dans les formes linéaires. Le second type (qui peut se reformuler en termes de circulation d'un champ de vecteurs) a comme cas particulier les intégrales que l'on considère en analyse complexe.

Dans cet article, Γ est un arc orienté dans n, rectifiable c'est-à-dire paramétré par une fonction continue à variation bornée t ↦ γ(t), avec t ∈ [a, b].

Intégrale d'un champ scalaire[modifier | modifier le code]

Intégrale curviligne d'un champ scalaire.

On définit l'intégrale curviligne d'un champ scalaire continu comme l'intégrale de Stieltjes de f∘γ par rapport à l'abscisse curviligne sγ(t) (longueur de l'arc γ restreint à [a, t])[1] :

c'est-à-dire la limite, quand le pas de la subdivision pointée de [a, b] tend vers 0, des sommes de Riemann associées :

où la subdivision pointée est notée : a = t0 < t1 < … < tn = b, t'k ∈ [tk–1, tk].

Cette définition ne dépend pas du paramétrage de Γ, ni de l'orientation.

La longueur sγ(b) de l'arc Γ est l'intégrale curviligne de la fonction constante 1.

Si γ est de classe C1,

Analyse vectorielle[modifier | modifier le code]

Circulation d'un champ vectoriel.

On définit également la circulation le long de Γ d'un champ vectoriel continu comme une intégrale de Stieltjes :

désigne le produit scalaire[2].

Cette définition ne dépend pas du paramétrage de Γ mais dépend de l'orientation (l'intégrale est changée en son opposée quand la courbe est parcourue en sens inverse).

On peut reformuler cette définition en notant ω la 1-forme différentielle « produit scalaire par f » : si ω est une 1-forme différentielle continue sur le support de Γ, on définit l'intégrale curviligne de ω le long de Γ par :

⟨∙, ∙⟩ est le crochet de dualité.

Si γ est de classe C1,

Analyse complexe[modifier | modifier le code]

Pour n = 2 et en identifiant ℝ2 au plan complexe, on définit l'intégrale curviligne d'une fonction continue comme l'intégrale de la 1-forme différentielle « produit (complexe) par f » :

Si γ est de classe C1,

Lorsque Γ est une courbe fermée (ses deux extrémités coïncident), il arrive qu'on utilise la notation :

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit la fonction f(z) = 1/z, et soit C le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique, ce qui peut se paramétrer par eit, avec t parcourant [0, 2π]. L'intégrale correspondante est

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les propriétés fondamentales des intégrales curvilignes sont le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy, qui permettent d'établir le théorème des résidus.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) J. C. Burkill (de) et H. Burkill, A Second Course in Mathematical Analysis, CUP, (lire en ligne), p. 255.
  2. (en) Murray H. Protter (en) et Charles B. Morrey, Jr. (en), A First Course in Real Analysis, Springer, , 2e éd. (lire en ligne), p. 435.

Voir aussi[modifier | modifier le code]