Intégrale curviligne

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En géométrie différentielle, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe Γ. Il y a deux types d'intégrales curvilignes, selon que la fonction est à valeurs réelles ou à valeurs dans les formes linéaires. Le second type (qui peut se reformuler en termes de circulation d'un champ de vecteurs) a comme cas particulier les intégrales que l'on considère en analyse complexe.

Dans cet article, Γ est un arc orienté dans n, rectifiable c'est-à-dire paramétré par une fonction continue à variation bornée γ(t), avec t ∈ [a, b].

Intégrale d'un champ scalaire[modifier | modifier le code]

Intégrale curviligne d'un champ scalaire.

On définit l'intégrale curviligne d'un champ scalaire continu comme l'intégrale de Stieltjes de f∘γ par rapport à l'abscisse curviligne sγ(t) (longueur de l'arc γ restreint à [a, t])[1] :

c'est-à-dire la limite, quand le pas de la subdivision pointée de [a, b] tend vers 0, des sommes de Riemann associées :

où la subdivision pointée est notée : a = t0 < t1 < … < tn = b, t'k ∈ [tk–1, tk].

Cette définition ne dépend pas du paramétrage, ni de l'orientation.

La longueur sγ(b) de l'arc Γ est l'intégrale curviligne de la fonction constante 1.

Si γ est de classe C1,

Analyse vectorielle[modifier | modifier le code]

Circulation d'un champ vectoriel.

On définit également la circulation le long de Γ d'un champ vectoriel continu comme une intégrale de Stieltjes :

désigne le produit scalaire[2].

Cette définition ne dépend pas du paramétrage mais dépend de l'orientation (l'intégrale est changée en son opposée quand la courbe est parcourue en sens inverse).

On peut reformuler cette définition en notant ω la 1-forme différentielle « produit scalaire par f » : si ω est une 1-forme différentielle continue sur le support de Γ, on définit l'intégrale curviligne de ω le long de Γ par :

⟨∙, ∙⟩ est le crochet de dualité.

Si γ est de classe C1,

Analyse complexe[modifier | modifier le code]

Pour n = 2 et en identifiant ℝ2 au plan complexe, on définit l'intégrale curviligne d'une fonction continue comme l'intégrale de la 1-forme différentielle « produit (complexe) par f » :

Si γ est de classe C1,

Lorsque Γ est une courbe fermée (ses deux extrémités coïncident), il arrive qu'on utilise la notation :

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit la fonction f(z) = 1/z, et soit C le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique, ce qui peut se paramétrer par eit, avec t parcourant [0, 2π]. L'intégrale correspondante est

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les propriétés fondamentales des intégrales curvilignes sont le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy, qui permettent d'établir le théorème des résidus.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) J. C. Burkill (de) et H. Burkill, A Second Course in Mathematical Analysis, CUP, (lire en ligne), p. 255.
  2. (en) Murray H. Protter (en) et Charles B. Morrey, Jr. (en), A First Course in Real Analysis, Springer, , 2e éd. (lire en ligne), p. 435.

Voir aussi[modifier | modifier le code]