Nabla

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Nabla, noté ou selon les conventions utilisées, est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse vectorielle qu'une connexion de Koszul en géométrie différentielle. Les deux notions sont reliées, ce qui explique l'utilisation d'un même symbole. En physique, il est utilisé en dimension 3 pour représenter aisément plusieurs opérateurs vectoriels, couramment utilisés en électromagnétisme et en dynamique des fluides. Si étant un champ scalaire et un champ vectoriel, l'opérateur nabla permet d'exprimer ː

  • le gradient ː  ;
  • la divergence ː  ;
  • le rotationnel ː  ;
  • le laplacien ː  ;
  • le laplacien vectoriel ː .

Lorsqu'il existe plusieurs repères, le symbole peut être affecté d'une lettre en indice pour préciser celui auquel l'opérateur se réfère.

Origine historique[modifier | modifier le code]

La forme de nabla vient de la lettre grecque delta majuscule (Δ) renversée, à cause d'une utilisation comparable, la lettre grecque à l'endroit étant déjà utilisée pour désigner un opérateur (le laplacien) en calcul différentiel. La définition, mais sans intitulé, du nabla a été introduite par William Rowan Hamilton en 1847[1], et Peter Guthrie Tait en a développé la théorie à partir de 1867. Temporairement surnommé avec malice « atled » (delta à l'envers) par James Maxwell dans ses correspondances, le nom nabla lui fut donné par Tait sur l'avis de William Robertson Smith, en 1870, par analogie de forme avec une harpe grecque qui dans l'antiquité portait ce nom (νάβλα, nábla)[2].

Formulaire d'analyse vectorielle[modifier | modifier le code]

La liste ci-dessous rassemble les définitions des principaux opérateurs utilisés en analyse vectorielle qui peuvent s'exprimer à l'aide de l'opérateur nabla, dans différents systèmes de coordonnées.

Opération Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
Définition
des
coordonnées




L'utilisation des expressions de dans des systèmes de coordonnées autres que cartésiennes nécessite de rester vigilant quant à l'application des dérivées partielles aux éléments , et . Ces derniers sont des champs de vecteurs non constants, ils font apparaître des termes spécifiques lorsque soumis à la dérivation (contrairement à , et qui ont des dérivées nulles).

Autre usage[modifier | modifier le code]

En langage APL, le signe nabla ou del (∇) signifie qu'on désire entrer ou sortir du mode de définition d'une fonction.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Ivor Grattan-Guinness, Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940, Elsevier, , 1 022 p. (ISBN 0444508716), p. 466.
  2. (en) Life and Scientific Work of Peter Guthrie Tait, Cambridge University Press, 383 p., p. 143-145.