Nabla

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Nabla, noté ou selon les conventions utilisées, est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse vectorielle qu'une connexion de Koszul en géométrie différentielle. Les deux notions sont reliées, ce qui explique l'utilisation d'un même symbole. En physique, il est utilisé en dimension 3 pour représenter aisément plusieurs opérateurs vectoriels, couramment utilisés en électromagnétisme et en dynamique des fluides.

C'est un moyen mnémotechnique pour les opérateurs différentiels de champs : les formules du gradient et du rotationnel se retrouvent en appliquant les règles habituelles du produit scalaire et du produit vectoriel à cet opérateur ; néanmoins la formule du laplacien vectoriel (qui s'écarte de la formule du double produit vectoriel) montre les limites de ce formalisme.

Origine historique[modifier | modifier le code]

La forme de nabla vient de la lettre grecque delta majuscule (Δ) renversée, à cause d'une utilisation comparable, la lettre grecque à l'endroit étant déjà utilisée pour désigner un opérateur, le laplacien, en calcul différentiel.

La définition du nabla a été introduite en 1847, quoique sans intitulé, par William Rowan Hamilton[1], et Peter Guthrie Tait en a développé la théorie à partir de 1867. Temporairement surnommé avec malice « atled » (« delta » à l'envers) par James Maxwell dans ses correspondances[2], le nom nabla lui fut donné par Tait sur l'avis de William Robertson Smith, en 1870, par analogie de forme avec une harpe grecque qui dans l'antiquité portait ce nom (νάβλα, nábla)[3],[2].

Emploi moderne[modifier | modifier le code]

Nabla est un opérateur différentiel vectoriel. En coordonnées cartésiennes par rapport à une base de l'espace euclidien de trois dimensions, il s'écrit sous la forme :

, ou sous forme matricielle :

Dans la définition d'origine proposée par le mathématicien et physicien irlandais William Rowan Hamilton, la base était initialement formée par les trois éléments de base des quaternions.

Cet opérateur est employé en analyse vectorielle. Si est un champ scalaire et un champ vectoriel, l'opérateur nabla permet d'exprimer formellement trois opérations fondamentales :

  • le gradient d'une fonction scalaire en un point correspond formellement au produit du vecteur nabla par un scalaire fonction de ce point, dont le résultat est un vecteur :
On remarque que, dans cette notation, le vecteur nabla précède le scalaire, contrairement à l'ordre habituel de notation ;
  • la divergence d'une fonction vectorielle d'un point correspond formellement au produit scalaire de nabla par cette fonction vectorielle, dont le résultat est un scalaire :
 ;
.

De plus, l'opérateur peut être réitéré, ce qui correspond formellement aux dérivées secondes entrant dans l'expression du laplacien, donnant :

 ;
.

Lorsqu'il existe plusieurs repères, le symbole peut être affecté d'une lettre en indice pour préciser celui auquel l'opérateur se réfère.

Formulaire d'analyse vectorielle[modifier | modifier le code]

La liste ci-dessous rassemble les définitions des principaux opérateurs utilisés en analyse vectorielle qui peuvent s'exprimer à l'aide de l'opérateur nabla, dans différents systèmes de coordonnées.

Opération Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
Définition
des
coordonnées




L'utilisation des expressions de dans des systèmes de coordonnées autres que cartésiennes nécessite de rester vigilant quant à l'application des dérivées partielles aux éléments , et . Ces derniers sont des champs de vecteurs non constants, ils font apparaître des termes spécifiques lorsque soumis à la dérivation (contrairement à , et qui ont des dérivées nulles).

Autre usage[modifier | modifier le code]

En langage APL, le signe nabla ou del (∇) signifie qu'on désire entrer ou sortir du mode de définition d'une fonction.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Ivor Grattan-Guinness, Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940, Elsevier, , 1022 p. (ISBN 0-444-50871-6), p. 466.
  2. a et b (en) Jeff Miller, « Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (N) ».
  3. (en) Life and Scientific Work of Peter Guthrie Tait, Cambridge University Press, 383 p., p. 143-145.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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