Point de Lebesgue
En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, un point x du domaine de définition d'une application f Lebesgue-intégrable sur ℝn est appelé point de Lebesgue lorsque f varie « très peu » au voisinage de x ou de manière plus générale si les moyennes des applications t ↦|f(t) – f(x)| sur les boules centrées sur x sont « très petites ».
Définition
[modifier | modifier le code]Plus précisément, on dit que x est un point de Lebesgue de f ∈ L1(ℝn) si
où B(x, r) désigne la boule de ℝn centrée en x et de rayon r > 0 et λ désigne la mesure de Lebesgue.
Un théorème
[modifier | modifier le code]Le théorème de différentiation de Lebesgue affirme que si f ∈ L1(ℝ) alors presque tous les points de ℝ sont des points de Lebesgue. Autrement dit l'ensemble des points x ∈ ℝ qui ne sont pas des points de Lebesgue est négligeable.
Application
[modifier | modifier le code]Une application directe du théorème précédent est une généralisation du premier théorème fondamental de l'analyse :
Si f ∈ L1(ℝ) et alors, en tout point de Lebesgue de f donc presque partout, F est dérivable et F'(x) = f(x).
Référence
[modifier | modifier le code]Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Lien externe
[modifier | modifier le code][PDF] Jean-François Burnol, « Points de Lebesgue », sur Université Lille 1,