Intégrale impropre

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En mathématiques, l'intégrale impropre (ou intégrale généralisée) désigne une extension de l'intégrale usuelle, définie par une forme de passage à la limite dans des intégrales. On note en général les intégrales impropres sans les distinguer des véritables intégrales ou intégrales définies, ainsi : \int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t\,\mathrm{d}t est un exemple classique d'intégrale impropre convergente, mais qui n'est pas définie au sens des théories de l'intégration usuelles (que ce soit l'intégration des fonctions continues par morceaux, l'intégrale de Riemann ou celle de Lebesgue ; une exception notable est la théorie de l'intégration de Kurzweil-Henstock).

Dans la pratique, on est amené à faire une étude de convergence d'intégrale impropre

  • lorsqu'on intègre jusqu'à une borne infinie,
  • lorsqu'on intègre jusqu'à une borne en laquelle la fonction n'admet pas de limite finie,
  • lorsqu'on englobe un point de non-définition dans l'intervalle d'intégration.

Dans chaque cas, on évaluera l'intégrale définie comme une fonction d'une des deux bornes et on prendra la limite de la fonction obtenue lorsque l'argument tend vers la valeur de la borne.

L'intégrale impropre partage un certain nombre de propriétés élémentaires avec l'intégrale définie. Elle ne permet pas d'écrire des résultats d'interversion limite-intégrale avec les théorèmes d'interversion de convergence uniforme. Par contre, il existe un théorème d'interversion limite-intégrale adapté aux intégrales impropres : c'est le théorème de convergence dominée.

Définition[modifier | modifier le code]

Définition de la convergence d'une intégrale impropre[modifier | modifier le code]

Soit f:[a, b[\to\R (où a est réel mais b peut être infini) une fonction continue ou, plus généralement, localement intégrable, c'est-à-dire intégrable sur tout compact de [a, b[. Si la limite

\lim_{x\to b^{-}}\int_a^xf(t)\,\mathrm{d}t

existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de f sur [a, b[.

De la même manière, soit f:{]a, b]}\to\R une fonction localement intégrable. Si la limite

\lim_{x\to a^+}\int_x^bf(t)\,\mathrm{d}t

existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de f sur ]a, b].

Dans les deux cas on peut noter cette limite

\int_a^bf(t)\,\mathrm{d}t, et l'on précise éventuellement si l'intégrale est impropre pour la borne a ou pour la borne b.

Si la limite existe et est finie on dit que \int_a^bf(t)\,{\rm d}t converge ; sinon, on dit qu'elle diverge.

Remarques
  • On peut généraliser facilement la définition à des fonctions qui sont définies seulement sur ]a, b[ (et localement intégrables). On dit alors que\int_a^bf(t)\,\mathrm{d}tconverge lorsque pour un c\in{]a,b[} arbitraire, les intégrales\int_a^cf(t)\,\mathrm{d}t\text{ et }\int_c^bf(t)\,\mathrm{d}tconvergent. D'après la relation de Chasles pour les intégrales, cette définition ne dépend pas du choix de c.
  • Il existe une notation[réf. nécessaire] qui permet d'expliciter le caractère impropre de l'intégrale :\lim_{x\to b^{-}}\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}tpeut s'écrire\int_a^{\to b}f(t)\,\mathrm{d}t.
  • Si f est en fait intégrable sur le segment [a, b], on obtient par ces définitions la même valeur que si l'on calculait l'intégrale définie de f.

Définition de l'intégrabilité d'une fonction[modifier | modifier le code]

Soit I = (a, b) un intervalle réel et f:I\to\R une fonction localement intégrable. On dit que f est intégrable sur I si

\int_a^b|f(t)|\,\mathrm{d}t

converge. On dit alors que l'intégrale de f sur I converge absolument.

Toute intégrale absolument convergente est convergente (cf. § « Majoration » ci-dessous). La réciproque est fausse. Une intégrale qui converge non absolument est dite semi-convergente.

Techniques pour établir la convergence d'une intégrale impropre[modifier | modifier le code]

Cas des fonctions positives[modifier | modifier le code]

Si f (localement intégrable sur [a, b[) est positive alors (d'après le théorème de convergence monotone) son intégrale (impropre en b) converge si et seulement s'il existe un réel M tel que

\forall x\in[a,b[\quad\int_a^xf(t)~\mathrm dt\le M,

et l'intégrale de f est alors la borne supérieure de toutes ces intégrales.

Calcul explicite[modifier | modifier le code]

On peut parfois montrer qu'une intégrale impropre converge, c'est-à-dire que la limite qui intervient dans la définition ci-dessus existe et est finie, en calculant explicitement cette limite.

Exemple
Pour tout λ > 0, l'intégrale
\int_0^{+\infty}{\rm e}^{-\lambda t}\,\mathrm dt
converge car pour tout réel x,
\int_0^x{\rm e}^{-\lambda t}\,\mathrm dt=\left[\tfrac{{\rm e}^{-\lambda t}}{-\lambda}\right]_0^x=\tfrac{1-{\rm e}^{-\lambda x}}{\lambda}
donc (par passage à la limite)
\int_0^{+\infty}{\rm e}^{-\lambda t}\,\mathrm dt=\frac1{\lambda}.

Critère de Cauchy[modifier | modifier le code]

D'après le critère de Cauchy pour une fonction, une intégrale impropre en b

\int_a^bf(t)\,\mathrm dt

converge si (et seulement si)

\forall\varepsilon>0\quad\exists c\in[a,b[\quad\forall x,y\in[c,b[\quad\left|\int_x^yf(t)\,\mathrm dt\right|\le\varepsilon.

Majoration[modifier | modifier le code]

D'après le critère de Cauchy ci-dessus, pour qu'une intégrale impropre

\int_a^bf(t)\,\mathrm dt

converge, il suffit qu'il existe une fonction g ≥ | f | dont l'intégrale

\int_a^bg(t)\,\mathrm dt

converge.

Négligeabilité[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Notations de Landau.

On considère deux intégrales impropres en b,

\int_a^bf(t)\,\mathrm dt\text{ et }\int_a^bg(t)\,\mathrm dt.

Si, quand tb, f(t)=O(g(t)) (en particulier si f(t)=o(g(t))) et g est de signe constant, alors : si l'intégrale

\int_a^bg(t)\,\mathrm dt

est convergente, l'intégrale

\int_a^bf(t)\,\mathrm dt

l'est aussi (d'après le § « Majoration »).

Exemple
L'intégrale
\int_1^{+\infty}t^{x-1}\,{\rm e}^{-t}\,\mathrm{d}t
converge pour tout réel x, puisque
t^{x-1}\,{\rm e}^{-t}\underset{+\infty}=o\left({\rm e}^{-t/2}\right)
et que l'intégrale (d'une fonction positive)
\int_1^{+\infty}{\rm e}^{-t/2}\,\mathrm dt
est convergente.
Remarque
La condition « de signe constant » est indispensable. Par exemple :
\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{\sqrt t}\,\mathrm{d}t
converge et
\int_0^{+\infty}\frac{|\sin t|}t\,\mathrm{d}t
diverge, bien qu'en +∞,
\frac{|\sin t|}t=o\left(\frac{\sin t}{\sqrt t}\right).

Équivalence[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Fonctions équivalentes.

Avec les mêmes notations qu'au paragraphe précédent, si f et g sont équivalentes au point b et de signe constant alors leurs intégrales sont de même nature puisque f = O(g) et g = O(f).

Exemples
  • L'intégrale (impropre en 0 si x < 1)
\int_0^1t^{x-1}\,{\rm e}^{-t}\,\mathrm{d}t
converge si et seulement si x > 0, puisque
t^{x-1}\,{\rm e}^{-t}~\underset0{\sim}~t^{x-1}>0
et que l'intégrale
\int_0^1t^{x-1}\,\mathrm{d}t
converge si et seulement si x > 0.
\int_1^{+\infty}t^\lambda\left(\sin\left(\tfrac1t\right)-\tfrac1t\right)\,\mathrm{d}t
converge si et seulement si λ < 2.
Remarque
La condition « de signe constant » est, là encore, indispensable (de même que dans le critère analogue pour les séries). Par exemple,
\frac{\sin t}{\sqrt t}+\frac{|\sin t|}t\text{ et }\frac{\sin t}{\sqrt t}
sont équivalentes en +∞ mais leurs intégrales ne sont pas de même nature, d'après la remarque du § précédent.

Règle d'Abel[modifier | modifier le code]

Article connexe : Règle d'Abel pour les séries.

Une conséquence du critère de Cauchy ci-dessus est le théorème suivant (pour g localement intégrable sur [a, b[) :

Si f est décroissante et de limite nulle en b et si la fonction x\mapsto\int_a^xg est bornée, alors l'intégrale de fg sur [a, b] converge.

Exemple
Pour tout λ > 0, l'intégrale
\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t^{\lambda}}~\mathrm dt
converge.

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

Intégration par parties[modifier | modifier le code]

L'intégration par parties est une technique, parmi d'autres, permettant de calculer une intégrale définie. Pour les intégrales impropres, cette technique peut être également utilisée. Mais il faut faire attention à la définition des « objets obtenus ». Si

\int_a^bf(t)g'(t)\,\mathrm dt

existe, ce n'est pas forcément le cas pour

\left[f(t)g(t)\right]_a^b ou pour \int_a^bf'(t)g(t)\,\mathrm dt.

Donc si l'on cherche à calculer par exemple l'intégrale

\int_a^bf(t)g'(t)\,\mathrm dt

impropre en b, on peut écrire :

\int_a^xf(t)g'(t)\,\mathrm dt=\left[f(t)g(t)\right]_a^x-\int_a^xf'(t)g(t)\,\mathrm dt

avec ax < b puis on effectue un passage à la limite en faisant xb. On observe alors que si les termes

\left[f(t)g(t)\right]_a^{\to b} et \int_a^{\to b}f'(t)g(t)\,\mathrm dt

sont définis, l'intégration par parties est possible.

Exemple
La fonction Γ, définie pour tout complexe z de partie réelle strictement positive (en particulier pour tout réel z > 0) par l'intégrale (absolument convergente d'après les exemples des § « Équivalence » et « Négligeabilité »)
\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}\,{\rm e}^{-t}\,\mathrm{d}t,
vérifie l'équation fonctionnelle : pour un tel z,
\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z).
En effet, pour 0 < x, y < +∞,
\int_x^yt^z\,{\rm e}^{-t}\,\mathrm{d}t=\left[-t^z{\rm e}^{-t}\right]_x^y+z\int_x^yt^{z-1}\,{\rm e}^{-t}\,\mathrm{d}t\quad{\rm et}\quad\lim_{y\to+\infty}y^z{\rm e}^{-y}=\lim_{x\to0^+}x^z{\rm e}^{-x}=0.

Linéarité[modifier | modifier le code]

La linéarité des intégrales impropres est possible mais requiert la même condition que pour l'intégration par parties : les « objets obtenus » doivent être définis. Ainsi on peut écrire

\int_1^{+\infty}\left(\frac1{t^2}-{\rm e}^{-t}\right)\,\mathrm{d}t=\int_1^{+\infty}\frac1{t^2}\,\mathrm{d}t-\int_1^{+\infty}{\rm e}^{-t}\,\mathrm{d}t

car les intégrales

\int_1^{+\infty}\frac1{t^2}\,\mathrm{d}t\text{ et }\int_1^{+\infty}{\rm e}^{-t}\,\mathrm{d}t

sont convergentes.

Mais par contre, l'intégrale

\int_1^{+\infty}\left(\sin\left(\tfrac1t\right)-\tfrac1t\right)\,\mathrm{d}t

(convergente) ne peut être scindée car les intégrales

\int_1^{+\infty}\sin\left(\frac1t\right)\,\mathrm{d}t\text{ et }\int_1^{+\infty}\frac1t\,\mathrm{d}t

sont divergentes.

Exemples classiques[modifier | modifier le code]

Exemples de Riemann[modifier | modifier le code]

L'intégrale

\int_1^{+\infty}\frac1{t^a}\,\mathrm{d}t

converge si et seulement si a > 1, et l'intégrale

\int_0^1\frac1{s^c}\,\mathrm{d}s

(impropre en 0 si c > 0) converge si et seulement si c < 1.

Intégrales de Bertrand[modifier | modifier le code]

Article connexe : Série de Bertrand.

Plus généralement :

  • l'intégrale\int_{\rm e}^{+\infty}\frac1{t^{\alpha}\ln(t)^{\beta}}\,\mathrm{d}tconverge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1) ;
  • l'intégrale\int_0^{1/{\rm e}}\frac1{s^{\gamma}|\ln(s)|^{\beta}}\,\mathrm{d}sconverge si et seulement si γ < 1 ou (γ = 1 et β > 1)[1].

Intégrale de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Intégrale de Dirichlet.

L'intégrale

\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t\,\mathrm{d}t

est semi-convergente.

Référence[modifier | modifier le code]

  1. B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Maths MP Tout en un, Hachette Éducation,‎ (lire en ligne), p. 305.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Comparaison série-intégrale