Lacet (mathématiques)

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En mathématiques, un lacet est la modélisation d'une « boucle ». C'est un chemin continu et fermé, c'est-à-dire que ses extrémités sont confondues. La notion de lacet est utile en analyse complexe et en topologie.

Définitions[modifier | modifier le code]

Si est un espace topologique, on appelle lacet sur toute application continue telle que .

Autres définitions :

  • Un lacet sur est un chemin sur dont l'extrémité est confondue avec l'origine ;
  • Un lacet sur est une application continue de vers (où dénote le cercle unité ).

En analyse complexe, on s'intéresse aux lacets qui sont aussi des courbes rectifiables.

Un lacet f est dit simple lorsque l'égalité f(a) = f(b) implique soit que a = b, soit que . Intuitivement, cela signifie que le lacet ne dessine qu'une unique boucle. On peut aussi définir des lacets polygonaux, ou de classe (voir Chemins). Les termes de lacet simple et de courbe de Jordan sont synonymes.

Indice d'un lacet dans le plan complexe[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Indice (analyse complexe).

Dans le cas , on peut définir l'indice d'un lacet par rapport à un point  : il correspond au nombre (entier relatif) de tours effectués par le lacet autour de ce point.

On peut l'obtenir en calculant :

Voir aussi[modifier | modifier le code]