Logarithme intégral

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
image illustrant l’analyse
Cet article est une ébauche concernant l’analyse.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Logarithme intégral

En mathématiques, le logarithme intégral li est une fonction spéciale définie en tout nombre réel strictement positif x≠1 par l'intégrale :

Ici, ln désigne le logarithme naturel.

La fonction n'est pas définie en t = 1, et l'intégrale pour x > 1 doit être interprétée comme la valeur principale de Cauchy :

Équivalent[modifier | modifier le code]

Quand x tend vers +∞, on a l'équivalence c'est-à-dire que

D'après le théorème des nombres premiers, la fonction de compte des nombres premiers π(x) est équivalente à x/ln(x), donc à li(x), qui en fournit par ailleurs une meilleure approximation.

Propriétés[modifier | modifier le code]

La fonction li est liée à l'exponentielle intégrale Ei par la relation li(x) = Ei (ln (x)) pour tout nombre réel strictement positif x ≠ 1. Ceci mène aux développements en séries de li(x), comme : γ ≈ 0,577 est la constante d'Euler-Mascheroni.

La fonction li a une seule racine, elle se trouve en x ≈ 1,451 ; ce nombre est connu comme étant la constante de Ramanujan-Soldner.

Fonction d'écart logarithmique intégrale[modifier | modifier le code]

La fonction d'écart logarithmique intégrale est une fonction spéciale Li(x) très similaire à la fonction logarithme intégral, définie de la façon suivante :

Une valeur approchée de li(2) est 1,045 163 8[1],[2], alors que Li(2) = 0.

On peut montrer à l'aide d'intégrations par parties successives que, pour tout entier n, on a le développement asymptotique suivant à l'infini de Li (donc aussi de li) :

Pour n = 0, on retrouve l'équivalent ci-dessus.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Johann Georg von Soldner, Théorie et tables d'une nouvelle fonction transcendante, 1809, p. 48.
  2. Pour plus de décimales, voir par exemple « li(2) », sur WolframAlpha ou la suite A069284 de l'OEIS.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne).