Intégration par changement de variable

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, l’intégration par changement de variable est un procédé d'intégration qui consiste à considérer une nouvelle variable d'intégration, pour remplacer une fonction de la variable d'intégration initiale. Ce procédé est un des outils principaux pour le calcul explicite d'intégrales.

Théorème[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient une fonction numérique continue, et une fonction de classe (c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue) sur un intervalle dont l'image par est contenue dans le domaine de définition de . Alors

.

Remarquons qu'il n'est pas nécessaire que soit une bijection entre et son image (voir infra).

Démonstration[modifier | modifier le code]

Cette règle d'intégration se déduit du théorème fondamental de l'analyse et du théorème de dérivation des fonctions composées : voir par exemple le lien en bas de cette page vers le cours sur Wikiversité.

Remarque[modifier | modifier le code]

Utilisons le théorème pour écrire l'intégrale de sur dans le cas où est une fonction monotone.

  • Si est croissante, alors et est égal à l'intervalle  ; l'intégrale de sur est alors immédiatement donnée par le théorème. Remarquons aussi que dans ce cas, .
  • Si est décroissante, alors et devient . L'intégrale de sur est donc l'opposée de l'intégrale du membre de gauche du théorème. Comme , changer le signe revient dans ce cas à remplacer dans le membre de droite par sa valeur absolue.

On voit ainsi que dans les deux cas on a

.

C'est cette formule qu'on peut généraliser au cas des intégrales multiples (voir infra).

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit à calculer

.

On choisit le changement de variable , et donc avec variant de à . Par conséquent, varie de à (en faisant un crochet par la valeur 0 mais peu importe ; est bien continue sur ) :

.

Changements de variables classiques[modifier | modifier le code]

  • Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
  • Pour calculer
    ,
    est une fraction rationnelle en deux variables, un entier naturel et , , et quatre réels donnés, on pose
     :
    le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en  ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.
  • Pour calculer
    ,
    est une fraction rationnelle en deux variables, Euler a proposé le changement de variable , qui donne lui aussi toujours une fraction rationnelle en t (le cas peut également être ainsi traité, si l'on accepte de travailler dans les complexes, il faut sinon passer par les fonctions circulaires (en)).

Cas des intégrales impropres[modifier | modifier le code]

Les formules données précédemment sont en fait valables même si les intégrales sont impropres, ce qui se produit en particulier lorsque le changement de variable fait passer d'un intervalle fermé de R à un intervalle ouvert (par exemple, l'intégrale devient, par le changement de variable , ). Dans les différents cas possibles, la démonstration de ce résultat se fait simplement en passant par un calcul de limite, et en remarquant que, par exemple, .

Cas des intégrales multiples[modifier | modifier le code]

Lorsque est une fonction de plusieurs variables, on remplace par une transformation bijective, de classe ainsi que sa fonction réciproque. Outre le changement du domaine d'intégration on utilise la valeur absolue du jacobien de « à la place » de . Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne . On donne ici la formulation explicite du changement de variable et le lecteur se reportera à l'article sur les intégrales multiples ou sur la matrice jacobienne pour plus de précisions sur ces notions :

.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Lien externe[modifier | modifier le code]

Autre exemple d'intégration par changement de variable bien détaillé