Intégration par changement de variable

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, l’intégration par changement de variable est un procédé d'intégration qui consiste à remplacer une variable (ou parfois même une fonction) par une autre fonction de celle-ci ou d'un autre paramètre. Ce procédé est un des outils principaux pour le calcul explicite d'intégrales.

Théorème[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit une fonction numérique continue, et une fonction de classe (c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue) sur un intervalle et dont l'image est contenue dans le domaine de définition de . Alors

Démonstration[modifier | modifier le code]

La fonction étant continue, on considère une primitive de sur l'ensemble de définition de. La fonction est alors dérivable, comme composée de deux fonctions dérivables et on a :

D'où

Remarque[modifier | modifier le code]

Utilisons le théorème pour écrire l'intégrale de sur dans le cas où est une fonction monotone.

  • Si est croissante, alors et est égal à l'intervalle ; l'intégrale de sur est alors immédiatement donnée par le théorème. Remarquons aussi que dans ce cas.
  • Si est décroissante, alors et devient . L'intégrale de sur est donc l'opposée de l'intégrale du membre de gauche du théorème. Comme , changer le signe revient dans ce cas à remplacer dans le membre de droite par sa valeur absolue.

On voit ainsi que dans les deux cas on a

C'est cette formule qu'on peut généraliser au cas des intégrales multiples (voir ci-dessous).

Principe[modifier | modifier le code]

De manière plus abstraite, cette règle d'intégration découle du théorème de dérivation des fonctions composées. Soient deux fonctions dérivables et sachant, par la définition d'intégrale, que

alors ce théorème permet d'obtenir

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit à calculer

On pose le changement de variable ( avec x ≥ 0 pour être de classe ), et donc avec variant entre et ( qui est bien ≥ 0 ) Par conséquent varie entre et

Remarque : omettre la condition x≥0 peut amener à des erreurs comme celle décrite dans Pseudo-démonstration d'égalité entre nombres

Changements de variables classiques[modifier | modifier le code]

  • Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
  • Pour calculer
    ,
    est une fraction rationnelle en deux variables, un entier naturel et , , et quatre réels donnés, on pose
     :
    le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en  ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.
  • Pour calculer
    ,
    est une fraction rationnelle en deux variables, Euler a proposé le changement de variable , qui donne lui aussi toujours une fraction rationnelle en t (le cas peut également être ainsi traité, si l'on accepte de travailler dans les complexes, il faut sinon passer par les fonctions circulaires (en)).

Cas des intégrales impropres[modifier | modifier le code]

Les formules données précédemment sont en fait valables même si les intégrales sont impropres, ce qui se produit en particulier lorsque le changement de variable fait passer d'un intervalle fermé de R à un intervalle ouvert (par exemple, l'intégrale devient, par le changement de variable , ). Dans les différents cas possibles, la démonstration de ce résultat se fait simplement en passant par un calcul de limite, et en remarquant que, par exemple, .

Cas des intégrales multiples[modifier | modifier le code]

Lorsque est une fonction de plusieurs variables, on remplace par une transformation bijective, de classe ainsi que sa fonction réciproque. Outre le changement du domaine d'intégration on utilise la valeur absolue du jacobien de « à la place » de . Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne . On donne ici la formulation explicite du changement de variable et le lecteur se reportera à l'article sur les intégrales multiples ou sur la matrice jacobienne pour plus de précisions sur ces notions :

.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Lien externe[modifier | modifier le code]