Opérateur (mathématiques)

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En mathématiques et en physique théorique, un opérateur est une application entre deux espaces vectoriels topologiques.

Article détaillé : Opérateur linéaire.

Définition d'un opérateur[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques. Un opérateur O est une application de E dans F :

Opérateur linéaire[modifier | modifier le code]

Par définition de la linéarité :

Un opérateur est linéaire si et seulement si :

K est le corps des scalaires de E et F.

Remarque[modifier | modifier le code]

Lorsque E est un espace-vectoriel, et que (c'est un corps), un opérateur est une forme linéaire sur E.

Domaine (de définition)[modifier | modifier le code]

On étend la définition précédente à des applications linéaires définies seulement sur un sous-espace vectoriel de E, qu'on appelle alors domaine de définition de l'opérateur.

Continuité[modifier | modifier le code]

Par définition de la continuité :

  • Soient O un opérateur de domaine et à valeurs dans F, et . L'opérateur O est dit continu en si et seulement si pour tout voisinage V de , il existe un voisinage de tel que :
  • L'opérateur O est dit continu si et seulement s'il est continu en tous les points de son domaine.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, série : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (2e édition-1995), (ISBN 3-540-58661-X).
  • B. Yosida, Functional Analysis, série : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (6e édition-1995), (ISBN 3-540-58654-7).