Opérateur (mathématiques)

En mathématiques et en physique théorique, un opérateur est une application entre deux espaces vectoriels topologiques.

Définition d'un opérateur

Définition

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels topologiques. Un opérateur $O$ est une application de $E$ dans $F$ :

$O\ :\quad E\ \to \ F$

Opérateur linéaire

Un opérateur $O:E\to F$ est linéaire si et seulement si :

$\forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},\ \forall (x_{1},x_{2})\in E^{2},\quad O(\lambda x_{1}+\mu x_{2})\ =\ \lambda O(x_{1})+\mu O(x_{2})$

où $K$ est le corps des scalaires de $E$ et $F$.

Remarque

Lorsque $E$ est un $\mathbb {K}$-espace vectoriel, et que $F=\mathbb {K}$ (c'est un corps), un opérateur est une forme linéaire sur $E$.

Domaine (de définition)

On étend la définition précédente à des applications linéaires définies seulement sur un sous-espace vectoriel de $E$, qu'on appelle alors domaine de définition de l'opérateur.

Continuité

Par définition de la continuité :

• Soient $O$ un opérateur de domaine $D_{O}\subset E$ et à valeurs dans $F$, et $x_{0}\in D_{O}$. L'opérateur $O$ est dit continu en $x_{0}$ si et seulement si pour tout voisinage $V$ de $y_{0}=O(x_{0})$, il existe un voisinage $U$ de $x_{0}$ tel que :

$\forall x\,\in \,U\cap D_{O}\ ,\quad O(x)\,\in \,V$

• L'opérateur $O$ est dit continu si et seulement s'il est continu en tous les points $x_{0}\in D_{O}$ de son domaine.

Articles connexes

• Espace de Banach
• Espace de Hilbert
• Mécanique quantique
• Opérateur compact
• Opérateur différentiel
• Théorie ergodique
• Théorie quantique des champs axiomatique
• Unicode
  • Table des caractères Unicode/U2200
  • Table des caractères Unicode/U2A00

Bibliographie

• A. N. Kolmogorov et S. V. Fomin, Introductory Real Analysis, Dover Publications, Inc. (1975), (ISBN 0-486-61226-0).

• T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, série : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (2^e édition-1995), (ISBN 3-540-58661-X).

• B. Yosida, Functional Analysis, série : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (6^e édition-1995), (ISBN 3-540-58654-7).