Intégrale de Kurzweil-Henstock

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, l'intégrale de Kurzweil-Henstock[1] ou de Henstock-Kurweil[2],[3] (ou KH-intégrale, ou intégrale de jauge[3] ou intégrale de Riemann complète[3]) a été mise au point indépendamment dans les années 1950 par Jaroslav Kurzweil (en) et Ralph Henstock (en) dans le but de présenter une théorie de l'intégration à peine plus compliquée à exposer que l'intégrale de Riemann, mais au moins aussi puissante que l'intégrale de Lebesgue. Elle est équivalente aux intégrales de Denjoy ou de Perron datant des années 1910, mais dont la présentation était assez lourde et qui étaient tombées en désuétude dans les années 1940.

Par rapport à l'intégrale de Lebesgue, la KH-intégrale présente l'avantage que toute fonction dérivée est intégrable, et qu'il n'est pas nécessaire d'introduire la notion d'intégrale impropre. Elle permet d'introduire dès les premières années de l'enseignement supérieur[4] une intégrale dotée de théorèmes puissants et fort proche de l'intégrale de Lebesgue (qu'il est facile d'introduire ensuite comme un cas particulier).

Définitions[modifier | modifier le code]

  • Soit [a, b] un segment réel. On appelle subdivision marquée (ou pointée) de [a, b] tout couple de familles finies de points (x0, x1, … , xn) et (t1, t2, … , tn) telles que
    a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b\quad\mbox{et}\quad\forall i\in\{1, \dots, n\}, ~ x_{i-1} \leqslant t_i \leqslant x_i.
    On dit que ti marque (ou pointe) le segment [xi–1, xi].
  • Si δ est une fonction définie sur [a, b] à valeurs strictement positives, on dit que δ est une jauge (sur [a, b]), et la subdivision est dite δ-fine si[5],[6]
\forall i\in\{1, \dots, n\},~x_i-x_{i-1}\leqslant\delta(t_i).

Un théorème important, le lemme de Cousin, est fréquemment utilisé dans la théorie de la KH-intégration ; il affirme que, quelle que soit la jauge choisie, il existe des subdivisions marquées plus fines que cette jauge.

  • Une fonction f bornée ou non sur un segment [a, b], à valeurs réelles ou complexes, est intégrable au sens de Kurzweil-Henstock (ou KH-intégrable), d'intégrale A, si[7] : pour tout ε > 0, il existe une jauge δ telle que, pour toute subdivision marquée ((xi), (ti)) δ-fine, on a :
    \left| \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1})f(t_i) - A \right|\leqslant\varepsilon. Le nombre A est alors unique et s'appelle l'intégrale de f sur [a, b]. On la note alors \int_a^b f(t) \mathrm dt.
  • La quantité \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1})f(t_i) s'appelle somme de Riemann de f relativement à la subdivision marquée choisie.

On remarque que si l'on prend des jauges δ constantes, on retrouve la définition de l'intégrale de Riemann. La KH-intégrale consiste à remplacer ces jauges constantes par des jauges variables.

  • Dans le cas où f est définie sur un intervalle I qui n'est pas un segment, on dit que f est KH-intégrable d'intégrale A, si[8], pour tout ε > 0, il existe une jauge δ sur I et un segment [a, b] inclus dans I tels que, pour toute subdivision marquée ((xi), (ti)) δ-fine d'un segment inclus dans I et contenant [a, b], on a :
    \left| \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1})f(t_i) - A \right|\leqslant\varepsilon.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • L'ensemble des fonctions KH-intégrables forme un espace vectoriel et l'intégrale est une forme linéaire positive sur cet espace.
  • Toute fonction Riemann-intégrable ou Lebesgue-intégrable est KH-intégrable avec la même intégrale ; en particulier, la fonction de Dirichlet valant 1 sur les rationnels et 0 sur les irrationnels, n'est pas Riemann-intégrable, mais est KH-intégrable d'intégrale nulle.
  • De même, la fonction \tfrac{\sin(x)}{x} sur ]0, +∞[ n'est pas Lebesgue-intégrable, mais c'est une intégrale (au sens de Riemann) impropre convergente, et elle est donc KH-intégrable (d'intégrale \pi/2 ; il s'agit de l'intégrale de Dirichlet). Contrairement aux fonctions Lebesgue-intégrables, une fonction peut être KH-intégrable sans que sa valeur absolue le soit.
  • Une fonction f est Lebesgue-intégrable si et seulement si f et | f | sont KH-intégrables (ce qui permet de définir la notion d'ensemble mesurable (pour la mesure de Lebesgue) comme un ensemble dont la fonction caractéristique est KH-intégrable). Il ne suffit pas que | f | soit KH-intégrable pour que f le soit. Si f est KH-intégrable et si | f | est majorée par une fonction KH-intégrable, alors | f | est KH-intégrable.
  • Le second théorème fondamental de l'analyse s'exprime comme suit :
    • Soit F dérivable sur [a, b] de dérivée f. Alors f est KH-intégrable et \int_a^b f(t) \mathrm dt = F(b) - F(a) .
    • Soit f KH-intégrable. Alors la fonction F : x \to \int_a^x f(t) \mathrm dt\,\! est continue et admet presque partout une dérivée égale à f.
  • La notion d'intégrale impropre est inutile avec la KH-intégrale. En effet, soit f est une fonction définie sur ]a, b] et telle que, pour tout c élément de ]a, b], f est KH-intégrable sur [c, b]. Si \lim_{c \to a} \int f(t) \mathrm dt existe et vaut A, alors f est KH-intégrable sur ]a, b] et son intégrale vaut A.
  • Le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée sont vrais avec la KH-intégrale, ce dernier devenant plus précisément un théorème de convergence encadrée (la raison étant que l'intégrabilité de | f | n'entraîne pas celle de f).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean-Pierre Demailly, Théorie élémentaire de l'intégration : l'intégrale de Kurzweil-Henstock,‎ (lire en ligne).
  2. Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 3, Dunod,‎ (lire en ligne), p. 195-259.
  3. a, b et c J.-P. Ramis, A. Warusfel et al., Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Dunod,‎ , 2e éd. (lire en ligne), p. 547-549.
  4. On pourra par exemple lire la présentation de Demailly 2011, utilisée comme support de cours à l'université Grenoble-I.
  5. Demailly 2011, p. 11, déf. 2.5 ; Ramis, Warusfel et al. 2015, p. 198, déf. 16 ; Ramis, Warusfel et al. 2014, p. 591, déf. 10.
  6. On trouve la variante suivante dans (en) Lee Peng Yee et Rudolf Výborný, The Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock, Cambridge University Press,‎ (ISBN 978-0-521-77968-5, présentation en ligne), p. 23 : ti – δ(ti) < xi–1tixi < ti + δ(ti).
  7. Ramis, Warusfel et al. 2015, p. 202.
  8. Ramis, Warusfel et al. 2015, p. 224.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]