Alternativité

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En mathématiques, plus particulièrement en algèbre générale, la propriété d'alternativité peut concerner les lois de composition internes, spécialement la multiplication de certaines algèbres. C'est une propriété moins forte que l'associativité et, pour les algèbres, plus forte que l'associativité des puissances.

Définition[modifier | modifier le code]

Un magma M est dit alternatif à gauche si (xx)y = x(xy) pour tous x et y dans M et alternatif à droite si y(xx) = (yx)x pour tous x et y dans M.

Il est dit alternatif s'il est à la fois alternatif à gauche et alternatif à droite.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout demi-groupe (c'est-à-dire tout magma associatif) est clairement alternatif. La réciproque est fausse : l'algèbre des octonions est alternative mais non associative.

Plus généralement, pour qu'un magma M soit alternatif, il suffit que tout sous-magma de M engendré par deux éléments soit associatif.

Pour un magma quelconque, cette condition suffisante n'est pas nécessaire (un magma alternatif peut même ne pas être à puissances associatives).[réf. souhaitée]

Pour une algèbre, cette condition suffisante est aussi nécessaire, d'après un théorème d'Artin[1]. Un corollaire est que toute algèbre alternative (en) est à puissances associatives, mais la réciproque est fausse : les sédénions forment une algèbre à puissances associatives, bien que non alternative.

Toute algèbre alternative est flexible, c'est-à-dire[2] vérifie l'identité (xy)x = x(yx). Des arguments élémentaires sur l'associateur permettent de prouver directement ce cas particulier du théorème d'Artin[2] et même, de démontrer que si une algèbre A vérifie deux des trois conditions suivantes, alors elle vérifie la troisième :

A est alternative à gauche,
A est alternative à droite,
A est flexible.

Toute algèbre alternative vérifie les identités de (en) Moufang :

  1. (zxz)y = z(x(zy))
  2. y(zxz) = ((yz)x)z
  3. (zy)(xz) = z(yx)z

(puisque l'algèbre est flexible, les sous-expressions non parenthésées ci-dessus de la forme aba sont non ambiguës).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Démontré dans Schafer 1995, p. 29-30 et dans Clark 2010, p. 10-11
  2. a et b Schafer 1995, p. 27-28
  3. Clark 2010, p. 8-10

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème d'Artin-Zorn (en)