Théorème des croissances comparées

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Le théorème des croissances comparées est constitué de quelques résultats de limites de fonctions qui seraient qualifiées de « formes indéterminées » par la méthode usuelle pour la limite d'un produit ou d'un quotient.

Énoncé[modifier | modifier le code]


Plus généralement, pour tous réels strictement positifs a et b[1],

L'hypothèse a > 0 est indispensable. Supposer de plus b > 0 est en fait inutile (pour b ≤ 0, les limites considérées ne sont pas des formes indéterminées).

Démonstrations[modifier | modifier le code]

On peut s'appuyer sur le cas particulier suivant de (1), dont plusieurs preuves sont indiquées dans l'article détaillé : En choisissant nb, on obtient en effet :

  1. en posant y = ax :
  2. en posant y = –ax :
  3. en posant y = a lnx :
  4. en posant y = –a lnx :

Chacune des quatre limites peut aussi se déduire de n'importe laquelle des trois autres par changement de variable.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Claude Deschamps, François Moulin, André Warusfel et al., Mathématiques tout-en-un PCSI-PTSI : nouveau programme 2013, Dunod, (lire en ligne), p. 199.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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