Identités logarithmiques

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Voici une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes. Toutes sont valables à condition que les réels utilisés (, , et ) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

  • .
  • .

Multiplication, division et exponentiation[modifier | modifier le code]

  • .
  • .
  • .

Ces trois identités nous permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul ; connaissant le logarithme de deux nombres, nous pouvons les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci.

Addition et soustraction[modifier | modifier le code]

En écrivant , et en utilisant les propriétés du logarithme d'un produit, on aboutit aux résultats ci-dessous. Ces formules permettent dans certains cas de calculer numériquement en fonction de et en évitant des dépassements des limites numériques[réf. nécessaire].

Réciprocité[modifier | modifier le code]

  • .
  • pour tout nombre réel , .

Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.

Changement de base[modifier | modifier le code]

.

Et en particulier (pour c = b), .

Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer, car la plupart de ces dernières ne proposent que les logarithmes décimaux et naturels.

Puisque ne dépend pas de c, on en déduit :

.

Limites[modifier | modifier le code]

pour
pour
pour
pour

La dernière limite est souvent interprétée comme « en l'infini le logarithme croît plus lentement que toute puissance (strictement positive) de la variable ».

Dérivée[modifier | modifier le code]

donc dans le cas particulier de la base e :

.

Primitive[modifier | modifier le code]

donc dans le cas particulier de la base e :

.

Crédit d'auteurs[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « List of logarithmic identities » (voir la liste des auteurs).