Représentations de e

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Cet article porte sur les représentations du nombre e, une importante constante mathématique.

Elle peut être définie de différentes manières en tant que nombre réel. Puisque e est un nombre irrationnel, elle ne peut être représentée par une fraction ordinaire, mais bien par une fraction continue. En s'appuyant sur les résultats du calcul infinitésimal, e peut aussi être calculée à partir d'une série infinie, d'un produit infini et de plusieurs limites de suite.

Comme fraction continue[modifier | modifier le code]

La constante e peut être représentée comme fraction continue simple (une démonstration est proposée dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne. Voir aussi la suite A003417 de l'OEIS) :

Voici quelques fractions continues généralisées de e. La deuxième est obtenue en effectuant une transformation d'équivalence. La troisième — contenant… 6, 10, 14, … — converge très rapidement.

Poser m = x et n = 2 donne

Comme séries infinies[modifier | modifier le code]

La constante e est aussi égale à la somme de ces séries[1] :

  1. Bn est le ne nombre de Bell.

Comme produit infini[modifier | modifier le code]

La constante e est aussi donnée par plusieurs produits infinis, dont le produit de Pippenger :

et le produit de Guillera[2]

où le ne facteur est la racine n-ième du produit

Il y a aussi les produits infinis

et

Comme limite d'une suite[modifier | modifier le code]

La constante e est égale à plusieurs limites de suites :

et

(les deux sont obtenues par la formule de Stirling).

La limite symétrique[3] :

peut être obtenue en manipulant la limite de base de e.

Une autre limite[4] :

est le ne nombre premier et est sa primorielle.

Probablement la limite la plus connue :

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « List of representations of e » (voir la liste des auteurs).

  1. Pour les séries 2 à 7, voir (en) Harlan J. Brothers (en), « Improving the convergence of Newton's series approximation for e », College Mathematics Journal (en), vol. 35, no 1,‎ , p. 34-39 (lire en ligne).
  2. (en) Jonathan Sondow, « A Faster Product for π and a New Integral for ln π/2 », Amer. Math. Monthly, vol. 112,‎ , p. 729-734 (lire en ligne).
  3. (en) Harlan J. Brothers et John A. Knox (en), « New Closed-Form Approximations to the Logarithmic Constant e », The Mathematical Intelligencer, vol. 20, no 4,‎ , p. 25-29 (lire en ligne).
  4. (en) Sebastián Martín Ruiz, « A Result on Prime Numbers », Math. Gaz., vol. 81,‎ , p. 269-270.