Représentations de e

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Cet article porte sur les représentations du nombre e, une importante constante mathématique.

Elle peut être définie de différentes manières en tant que nombre réel. Puisque e est un nombre irrationnel, elle ne peut être représentée par une fraction ordinaire, mais bien par une fraction continue. En s'appuyant sur les résultats du calcul infinitésimal, e peut aussi être calculée à partir d'une série infinie, d'un produit infini et de plusieurs limites de suite.

Comme fraction continue[modifier | modifier le code]

La constante e peut être représentée comme fraction continue simple (une démonstration est proposée dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne. Voir aussi la suite A003417 de l'OEIS) :

{\rm e}=[2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, \ldots,1, \textbf{2n}, 1,\ldots] \,

Voici quelques fractions continues généralisées de e. La deuxième est obtenue en effectuant une transformation d'équivalence. La troisième — contenant… 6, 10, 14, … — converge très rapidement.


{\rm e}=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\ddots}}}}} \qquad
{\rm e}=2+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\cfrac{6}{\ddots\,}}}}}
{\rm e}=1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{\ddots\,}}}}}
{\rm e}^{2m/n}=1+\cfrac{2m}{(n-m)+\cfrac{m^2}{3n+\cfrac{m^2}{5n+\cfrac{m^2}{7n+\cfrac{m^2}{\ddots\,}}}}}

Poser m = x et n = 2 donne

{\rm e}^x=1+\cfrac{2x}{(2-x)+\cfrac{x^2}{6+\cfrac{x^2}{10+\cfrac{x^2}{14+\cfrac{x^2}{\ddots\,}}}}}.

Comme séries infinies[modifier | modifier le code]

La constante e est aussi égale à la somme de ces séries[1] :

  1. {\rm e}=\left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}
  2. {\rm e}=\left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}
  3. {\rm e}=\frac12\sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}
  4. {\rm e}=2\sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}
  5. {\rm e}=\sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}
  6. {\rm e}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}
  7. {\rm e}=\left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!} \right ]^2
  8. {\rm e}=-\frac{12}{\pi^2} \left [ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3}
  9. {\rm e}=\sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}
  10. {\rm e}=\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2(k-1)!}
  11. {\rm e}=\sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}
  12. {\rm e}=\sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}
  13. {\rm e}=\sum_{k=1}^\infty \frac{k^n}{B_n(k!)}Bn est le ne nombre de Bell.

Comme produit infini[modifier | modifier le code]

La constante e est aussi donnée par plusieurs produits infinis, dont le produit de Pippenger :

{\rm e}=2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots

et le produit de Guillera[2]

{\rm e}=\left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} 
\left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4}  \cdots ,

où le ne facteur est la racine n-ième du produit

\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.

Il y a aussi les produits infinis

{\rm e}=\frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots }

et

{\rm e}=\sqrt[1]{\frac{2}{1}}\cdot\sqrt[2]{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots.

Comme limite d'une suite[modifier | modifier le code]

La constante e est égale à plusieurs limites de suites :

{\rm e}=\lim_{n \to \infty} n~\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}   et
{\rm e}=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}

(les deux sont obtenues par la formule de Stirling).

La limite symétrique[3] :

{\rm e}=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ]

peut être obtenue en manipulant la limite de base de e.

Une autre limite[4] :

{\rm e}=\lim_{n \to \infty}(p_n \#)^{1/p_n}

 p_n est le ne nombre premier et  p_n \# est sa primorielle.

Probablement la limite la plus connue :

{\rm e}=\lim_{n \to \infty}\left (1+ \frac{1}{n} \right )^n.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « List of representations of e » (voir la liste des auteurs).

  1. Pour les séries 2 à 7, voir (en) Harlan J. Brothers (en), « Improving the convergence of Newton's series approximation for e », College Mathematics Journal (en), vol. 35, no 1,‎ 2004, p. 34-39 (lire en ligne).
  2. (en) Jonathan Sondow, « A Faster Product for π and a New Integral for ln π/2 », Amer. Math. Monthly, vol. 112,‎ 2005, p. 729-734 (lire en ligne).
  3. (en) Harlan J. Brothers et John A. Knox (en), « New Closed-Form Approximations to the Logarithmic Constant e », The Mathematical Intelligencer, vol. 20, no 4,‎ 1998, p. 25-29 (lire en ligne).
  4. (en) Sebastián Martín Ruiz, « A Result on Prime Numbers », Math. Gaz., vol. 81,‎ 1997, p. 269-270.