Représentations de e

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Cet article porte sur les représentations du nombre e, une importante constante mathématique.

Elle peut être définie de différentes manières en tant que nombre réel. Puisque e est un nombre irrationnel, elle ne peut être représentée par une fraction ordinaire, mais bien par une fraction continue. En s'appuyant sur les résultats du calcul infinitésimal, e peut aussi être calculée à partir d'une série infinie, d'un produit infini et de plusieurs limites de suite.

Comme fraction continue[modifier | modifier le code]

La constante e peut être représentée comme fraction continue simple (une démonstration est proposée dans l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ». Voir aussi la suite A003417 de l'OEIS) :

Voici quelques fractions continues généralisées (en notation de Pringsheim). La deuxième est déduite de la première par conversion. La troisième, qui converge très rapidement, est un cas particulier de la quatrième.

Comme séries infinies[modifier | modifier le code]

La constante e est aussi égale à la somme de ces séries[1] :

  1. Bn est le n-ième nombre de Bell.

Comme produit infini[modifier | modifier le code]

La constante e est aussi donnée par plusieurs produits infinis, dont le produit de Pippenger :

et le produit de Guillera[2]

où le n-ième facteur est la racine n-ième du produit

Il y a aussi les produits infinis

et

Comme limite d'une suite[modifier | modifier le code]

La constante e est égale à plusieurs limites de suites :

(par la formule de Stirling).

La limite symétrique[3] :

peut être obtenue en manipulant la limite de base de e.

Une autre limite[4] :

est le n-ième nombre premier et est sa primorielle.

Probablement la limite la plus connue :

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « List of representations of e » (voir la liste des auteurs).

  1. Pour les séries 2 à 7, voir (en) Harlan J. Brothers (en), « Improving the convergence of Newton's series approximation for e », College Mathematics Journal (en), vol. 35, no 1,‎ , p. 34-39 (lire en ligne).
  2. (en) Jonathan Sondow, « A Faster Product for π and a New Integral for ln π/2 », Amer. Math. Monthly, vol. 112,‎ , p. 729-734 (lire en ligne).
  3. (en) Harlan J. Brothers et John A. Knox (en), « New Closed-Form Approximations to the Logarithmic Constant e », The Mathematical Intelligencer, vol. 20, no 4,‎ , p. 25-29 (lire en ligne).
  4. (en) Sebastián Martín Ruiz, « A Result on Prime Numbers », Math. Gaz., vol. 81,‎ , p. 269-270.