Fonction W de Lambert

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Les deux branches de la fonction de Lambert sur l'ensemble ]–1/e , +∞[.

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la fonction W de Lambert, nommée ainsi d'après Jean-Henri Lambert, et parfois aussi appelée la fonction Oméga, est la réciproque de la fonction de variable complexe f définie par c'est-à-dire que pour tous nombres complexes z et w, nous avons :

Puisque la fonction f n'est pas injective, W est une fonction multivaluée ou « multiforme » qui comprend deux branches pour les valeurs réelles . Une des branches, la branche principale, W0 peut être prolongée analytiquement en dehors de ]−∞, –1/e]. Pour tout nombre complexe z ∉ ]−∞, –1/e], on a :

La fonction W de Lambert ne peut pas être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires.

Historique[modifier | modifier le code]

Lambert s'est intéressé à l'équation connue sous le nom d'équation transcendante de Lambert en 1758[1], ce qui conduisit à une note de Leonhard Euler en 1783[2] qui discutait le cas particulier de . La première description de la fonction W semble due à George Pólya et Gábor Szegő en 1925[3]. La fonction de Lambert fut « redécouverte » tous les dix ans environ dans des applications spécialisées, mais son importance ne fut pas vraiment appréciée avant les années 1990. Lorsqu'il fut annoncé que la fonction de Lambert donnait une solution exacte aux valeurs propres de l'énergie du système quantique correspondant au modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges égales — un problème physique fondamental —, Corless et d'autres développeurs du système Maple firent une recherche bibliographique et découvrirent que cette fonction apparait un peu partout dans des applications pratiques[4].

Branches de la « fonction » de Lambert[modifier | modifier le code]

Représentation graphique de la branche W0 de la fonction W de Lambert.
La partie supérieure de la courbe (y > −1) est la branche W0 ; la partie inférieure (y < −1) est la branche W-1 définie pour x < 0.

Si nous nous limitons aux arguments réels x ≥ −1/e, il existe une fonction et une seule W0 à valeurs réelles telle que

c'est la branche principale de W dans ce domaine. La représentation graphique de W0 figure à droite (on note généralement W-1 l'autre branche à valeurs réelles, c'est-à-dire la branche correspondant aux arguments x tels que , et à valeurs ).

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

Expression de eW(y)[modifier | modifier le code]

On a : , donc, si W désigne une des deux branches W0 ou W-1 :

Si y ≠ 0,

Conséquences de la définition[modifier | modifier le code]

De l'égalité de la définition, on peut déduire :

  • (où W désigne l'une quelconque des deux branches)
  • si x ≥ - 1 .
  • si x ≤ - 1 .
  • (où W désigne l'une quelconque des deux branches et x est non nul)
  • si x > 0[5]


Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

Voici quelques valeurs remarquables de W, obtenues simplement en remarquant que f(0)=0, f(1)=e, f(-1)=-1/e, etc. :

  • où Ω est la constante oméga

On peut bien sûr obtenir de même des valeurs complexes de W(x) pour certains x< −1/e; ainsi

Dérivée[modifier | modifier le code]

Si W désigne une des deux branches W0 ou W-1, la formule de dérivation des bijections réciproques montre que sa dérivée est :

pour
pour x ≠ 0 et

ce qui a pour conséquence que chacune des deux branches de W satisfait l'équation différentielle :

pour x ≠ −1/e.

Cette équation est d'ailleurs à variables séparables, et ses solutions sont toutes de la forme (avec k ≠ 0) ou .

Primitives[modifier | modifier le code]

La fonction W (désignant une des deux branches W0 ou W-1), et beaucoup de fonctions impliquant W, peuvent être intégrées en utilisant le changement de variable , i.e.  :

Méthodes de calcul de W0[modifier | modifier le code]

Par la série de Taylor[modifier | modifier le code]

Représentation de la branche principale W0 de la fonction de Lambert dans le plan complexe (le code des couleurs utilisé est commenté précisément au début de l'article « Fonction zêta »).

La série de Taylor de W0 au voisinage de 0 peut être obtenue par l'utilisation du théorème d'inversion de Lagrange[6] et est donnée par

Le rayon de convergence est égal à 1/e. Cette série peut être prolongée en une fonction holomorphe définie en tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle réel ]−∞, –1/e] ; cette fonction holomorphe est aussi appelée la branche principale de la fonction W de Lambert.

Comme limite d'une suite[modifier | modifier le code]

On peut calculer de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale w0 égale à 1 et en calculant les termes de la suite

.

Si cette suite converge, on voit aisément que sa limite est . On démontre que c'est en effet le cas si  :

Il est moins simple, mais beaucoup plus efficace, d'utiliser la méthode de Newton, partant de , et posant

cette suite converge (très rapidement) vers pour tout .

Développements asymptotiques de W0[modifier | modifier le code]

On a, pour tendant vers , le développement asymptotique à trois termes suivant[7] :

On a pour x tendant vers -1/e, le développement asymptotique de W0 :

Utilisation[modifier | modifier le code]

Beaucoup d'équations impliquant des exponentielles peuvent être résolues par l'utilisation de la fonction W. La stratégie générale est de déplacer toutes les instances de l'inconnue d'un côté de l'équation et de le faire ressembler à x ex. À ce point la « fonction » W nous fournit les solutions :

(chaque valeur différente de la « fonction » W donne une solution différente).

Exemples d'applications[modifier | modifier le code]

Équation [modifier | modifier le code]

Par exemple, pour résoudre l'équation nous divisons par pour obtenir La définition de la « fonction » W donne alors , soit

Comme cette formule donne deux solutions réelles : et

Équations et [modifier | modifier le code]

Avec la « fonction » W de Lambert, on peut résoudre des équations du type par :

donc

et si z ≠ 1.

Les solutions de l'équation : équivalente à (si b ≠ 1),

sont données avec la « fonction » W de Lambert : et si b ≠ 1.

La tétration infinie[modifier | modifier le code]

En général, la tour de puissance infinie converge si et seulement si .

Pour un réel quelconque r avec et x le nombre , alors la limite est r (démonstration[8]) :

Quand une tétration infinie converge, la fonction de Lambert fournit la valeur de la limite réelle comme :
( si x ≠ 1).

Cela peut être étendu aux nombres complexes z avec la définition :

ln(z) représente la branche principale de la fonction logarithme complexe.

Équation [modifier | modifier le code]

La bijection réciproque de peut être obtenue explicitement : résolvant l'équation on remarque d'abord qu'elle équivaut, en posant à et donc soit :

Équations et [modifier | modifier le code]

Résolution des équations de forme : avec et dans .

On pose , ce nombre est appelé le discriminant. Il intervient dans la détermination du nombre de solutions de l'équation.

Théorème —  Les solutions de l'équation sont:

  • Si ou si alors l'équation admet une solution dans .
  • Si alors l'équation admet deux solutions dans .
  • Si alors n'admet pas de solution dans .

À l'aide du changement de variable , on en déduit la résolution des équations de la forme : avec et dans . Les solutions sont alors (en n'oubliant pas que que W est multivaluée) de la forme :

,

.

Équations et [modifier | modifier le code]

Plus généralement, la fonction W de Lambert permet de résoudre les équations de la forme : et avec et , x dans et .

Il suffit pour cela de considérer une fonction tel que de répéter la démonstration ci-dessus et de considérer la formule de changement de base : . On obtient alors, avec  :

et avec :

Il faut alors considérer le nombre pour déterminer la quantité de solutions des équations.

Applications en physique[modifier | modifier le code]

Constante de Wien[modifier | modifier le code]

Dans la loi du déplacement de Wien : . La constante de Wien, noté peut être déterminée explicitement à l'aide de la fonction W de Lambert.

Elle vaut : , avec h la constante de Planck, c la vitesse de la lumière dans le vide et kB la constante de Boltzmann.

Courant dans un circuit diode-résistance[modifier | modifier le code]

La solution pour connaître la valeur du courant dans un circuit en série de diode/résistance peut être donnée par la fonction W de Lambert. Voir la modélisation d'une diode (en).

Diverses formules intégrales[modifier | modifier le code]

(intégrale de Gauss en coordonnées polaires)

On obtient alors par changements de variable les égalités remarquables :

Représentations graphiques[modifier | modifier le code]

Généralisations[modifier | modifier le code]

La fonction W de Lambert fournit des solutions exactes aux équations « algébriques-transcendantes » (en x) de la forme:

ou a0, c et r sont des constantes réelles. La solution est

Les généralisations de la fonction W de Lambert[9],[10],[11] incluent :

r1 et r2 sont des constantes réelles, les racines du polynôme quadratique. Dans ce cas, la solution est une fonction avec un seul argument x mais les termes comme ri et ao sont des paramètres de la fonction. De ce point de vue, la généralisation ressemble à la série hypergéométrique et la fonction de Meijer G mais appartient pourtant à une « classe » différente de fonctions. Quand r1 = r2, chaque côté de (2) peut être factorisé et réduit à (1) et donc la solution se réduit à celle de la fonction standard de W.

L'équation (2) est celle gouvernant le champ d'un dilaton - par lequel est dérivée la métrique du système gravitationnel de deux corps dans les dimensions 1+1 (c’est-à-dire une dimension spatiale et une dimension temporelle) pour le cas des masses (au repos) inégales - ainsi que les valeurs propres de l'énergie du système quantique qui consiste du modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges inégales en une dimension.

  • les solutions analytiques pour les valeurs propres de l'énergie d'un cas spécial de la version quantique du problème des trois corps, c’est-à-dire l’ion hydrogène moléculaire (en trois dimensions)[13].

La partie de droite de (1) (ou (2)) est maintenant un quotient de « polynômes » d'ordre infini en x :

ri et si sont des constantes réelles distinctes et x est une fonction de la valeur propre de l'énergie et la distance internucléaire R. L'équation (3) avec ces cas spécialisés et exprimés dans (1) et (2) correspond à une classe considérable d'équations à délai différentiel. La « fausse dérivée » de Hardy fournit des racines exactes pour des cas spéciales de (3)[14].

Les applications de la fonction W de Lambert dans les problèmes de la physique fondamentale ne sont pas épuisées même pour le cas standard exprimé dans (1), comme on vient de le voir dans les domaines de la physique atomique et moléculaire, ainsi qu'en optique[15].

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (la) J. H. Lambert, « Observationes variae in mathesin puram », Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica, vol. III,‎ , p. 128-168 (lire en ligne).
  2. (la) L. Euler, « De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus », Acta Acad. Scient. Petropol., vol. 2,‎ , p. 29-51, réimprimée dans (la) L. Euler, Opera Omnia, Series Prima, vol. 6 : Commentationes Algebraicae, Leipzig, Teubner, (lire en ligne), p. 350-369.
  3. (en) George Pólya et Gábor Szegő, Aufgaben und Lehrsätze der Analysis, Berlin, Springer-Verlag, .
  4. (en) R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare et D. J. Jeffrey, « Lambert's W function in Maple », The Maple Technical Newsletter (MapleTech), vol. 9,‎ , p. 12-22.
  5. (en) http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html
  6. Donatella Merlini, Renzo Sprugnoli, Maria Cecilia Verri, « The method of coefficients », Amer. Math. Monthy, vol. 114, no 1,‎ , p. 40-57
  7. On trouvera beaucoup plus de termes de ce développement dans (en) Trott, « Lambert W-Function », MathWorld
  8. « Sur le problème de la tétration infinie, ou infinite power tower », sur http://citron.9grid.fr, (consulté le 21 août 2010).
  9. (en) T. C. Scott et R. B. Mann, « General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function », AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no 1,‎ , p. 41-47 (lire en ligne)
  10. (en) T. C. Scott, G. Fee et J. Grotendorst, « Asymptotic series of Generalized Lambert W Function », SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation), vol. 47, no 185,‎ , p. 75–83 (lire en ligne)
  11. T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst et W.Z. Zhang, « Numerics of the Generalized Lambert W Function », SIGSAM, nos 1/2,‎ , p. 42–56 (lire en ligne)
  12. (en) P. S. Farrugia, R. B. Mann et T. C. Scott, « N-body Gravity and the Schrödinger Equation », Class. Quantum Grav., vol. 24,‎ , p. 4647-4659 (lire en ligne)
  13. (en) T. C. Scott, M. Aubert-Frécon et J. Grotendorst, « New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion », Chem. Phys., vol. 324,‎ , p. 323-338 (lire en ligne)
  14. (en) Aude Maignan et T. C. Scott, « Fleshing out the Generalized Lambert W Function », SIGSAM, vol. 50, no 2,‎ , p. 45–60 (DOI 10.1145/2992274.2992275)
  15. (en) T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini et J. D. Morgan III, « The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions », Phys. Rev. A, vol. 75,‎ , p. 060101 (DOI 10.1103/PhysRevA.75.060101)

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) R. M. Corless et al., « On the Lambert W function », Adv. Comput. Math., vol. 5,‎ , p. 329-359 (lire en ligne) ou