Théorème d'Abel (analyse)

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Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, nommé d'après Niels Henrik Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — Soit une série entière (à coefficients complexes) de rayon de convergence égal à .

Si la série converge, alors la limite existe et est égale à la somme de cette série.

Remarque : dans le cas où la série est absolument convergente, le résultat est trivial, il n'y a donc pas lieu d'invoquer ce théorème.

En effet, sous cette condition, converge normalement donc uniformément sur  ; on retrouve immédiatement :

Exemples[modifier | modifier le code]

Exemple (1) :

Soit

Comme converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on déduit du théorème d'Abel que :

Exemple (2) :

Soit

Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que converge, d'où :

Exemple (3) :

Soient

deux séries convergentes et (cn) le produit de Cauchy des deux suites (an) et (bn) :

Si la série de terme général cn converge alors sa somme est égale à AB :

En effet, pour |x| < 1, les séries entières associées f(x), g(x), h(x) sont absolument convergentes donc f(x)g(x) = h(x). En faisant x → 1, la conclusion s'ensuit grâce au théorème d'Abel.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Quitte à effectuer un changement de variable linéaire , on peut considérer uniquement le cas . De plus (en ajoutant une constante à ), on se ramène au cas . Notons les sommes partielles de la série . On a donc par hypothèse et l'on doit montrer que .

La démonstration repose sur la méthode classique de sommation par parties, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales.

Considérons . On a (avec la convention ) :

Comme la suite est bornée (car convergente), on en déduit que

Soit ε > 0. Il existe alors tel que |Sn| ≤ ε pour tout , d'où :

Le majorant tend vers ε quand tend vers 1, donc est inférieur à 2ε pour assez proche de 1.

Réciproque partielle[modifier | modifier le code]

Tauber (de)[1] a démontré en 1897[2] que sous l'hypothèse an = o(1/n), si la limite radiale existe, alors la série converge et lui est égale. Ce résultat a été amélioré par Littlewood : l'hypothèse an = O(1/n) suffit[3]. Le théorème taubérien de Hardy-Littlewood (en) en est une généralisation.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Alfred Tauber », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  2. (de) A. Tauber, « Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen », Monatshefte für Mathematik (de), vol. 8,‎ , p. 273–277.
  3. Ceci fournit un autre argument pour traiter les deux exemples ci-dessus.

Articles connexes[modifier | modifier le code]