Exponentielle d'une matrice

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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, l'exponentielle d'une matrice est une fonction généralisant la fonction exponentielle aux matrices et aux endomorphismes par le calcul fonctionnel. Elle fait en particulier le pont entre un groupe de Lie et son algèbre de Lie.

Définition[modifier | modifier le code]

Définition-théorème — La série d'applications de terme général

converge normalement sur toute partie bornée de . On appelle alors exponentielle l'application de dans définie, pour tout , par

.

Pour n=1, on retombe sur la définition de l'exponentielle classique.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Soient X et Y deux matrices n×n complexes et soient a et b deux nombres complexes. La matrice identité est notée I, et la matrice nulle, 0. L'exponentielle d'une matrice possède les propriétés suivantes :

  •  ;
  • est un polynôme en X ;
  •  ;
  •  ;
  • si , alors , par transformation d'une série double (cf. Famille sommable, § Produit dans les algèbres de Banach) ;
  • plus généralement, la formule de Baker-Campbell-Hausdorff donne l'expression de , plus précisément du logarithme de , par une série ne faisant intervenir que , et leurs crochets. Les premiers termes sont[1],[2] :
  • (formule de Trotter-Kato).
  • si est une matrice inversible, alors  ;
  •  ;
  • exp(XT) = (eX)T, où XT désigne la transposée de X. Il s'ensuit que si X est une matrice symétrique, alors eX est aussi symétrique, et que si X est une matrice antisymétrique, alors eX est une matrice orthogonale ;
  • exp(X*) = (eX)*, où X* signifie le conjugué de la matrice transposée de X. Il en résulte que si X est une matrice hermitienne, alors eX est aussi hermitienne, et que si X est une matrice antihermitienne (c'est-à-dire opposée au conjugué de sa transposée), alors eX est une matrice unitaire ;
  • .

L'application exponentielle[modifier | modifier le code]

L'exponentielle d'une matrice est toujours inversible. L'inverse de eX est donné par eX. Cette fonction est donc une application de l'ensemble des matrices n×n vers le groupe général linéaire, c'est-à-dire le groupe de toutes les matrices inversibles. Cette application est surjective.

Pour deux matrices X et Y, nous avons

où || · || désigne une norme matricielle arbitraire. Il suit que l'application exponentielle est continue et lipschitzienne sur tout sous-ensemble compact de Mn(ℂ).

L'application est même de classe .

Sa différentielle en 0 est l'identité et elle réalise un difféomorphisme entre un voisinage de 0 et un voisinage de l'identité.

L'application

définit une courbe de classe dans le groupe linéaire qui passe par l'identité en t = 0. Cette courbe est en fait un sous-groupe à un paramètre de puisque

La dérivée de cette courbe au point t est donnée par

(La dérivée au point t = 0 est la matrice X, ce qui revient à dire que X engendre ce sous-groupe à un paramètre.)

En effet, plus généralement, la différentielle de l'application exponentielle en une matrice X est donnée par

(où B désigne la fonction bêta), d'où

Calculs de l'exponentielle d'une matrice[modifier | modifier le code]

Le calcul d'une exponentielle de matrice n'est pas a priori un problème facile. Cependant, dans certains cas, et notamment ceux d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente, il ne présente aucune difficulté. Une fois cette remarque faite, le cas général peut se traiter en se ramenant aux deux cas précédents.

Matrice diagonalisable[modifier | modifier le code]

Si D est une matrice diagonale, c'est-à-dire :

alors son exponentielle est obtenue en calculant l'exponentielle de chacun des termes de la diagonale principale :


Si A est une matrice diagonalisable, c'est-à-dire :

D est diagonale, alors

L'application exponentielle préserve ainsi les espaces propres, soit les sous-espaces engendrés par les vecteurs colonnes de P.

De plus, les valeurs propres de eA sont les exponentielles de celles de A, soit les éléments de eD.

Matrice nilpotente[modifier | modifier le code]

Une matrice N est nilpotente si Nq = 0 pour un entier q. Dans ce cas, l'exponentielle d'une matrice eN se calcule directement à partir de son développement en série, puisque celui-ci ne comporte alors qu'un nombre fini de termes :

.

Matrice quelconque[modifier | modifier le code]

Lorsque le polynôme minimal d'une matrice X est scindé (ce qui est en particulier toujours le cas pour les matrices à coefficients complexes), la décomposition de Dunford donne

  • A est diagonalisable ;
  • N est nilpotente ;
  • A commute avec N.

Dès lors, le calcul de l'exponentielle de X se réduit aux deux cas précédents :

.

On peut aussi faire appel à la réduction de Jordan : soit J la forme de Jordan de X, et P la matrice de passage. Alors,

Puisque

En conséquence, il faut seulement connaître la méthode pour calculer l'exponentielle d'un bloc de Jordan. Chacun est de la forme

N est une matrice nilpotente. L'exponentielle du bloc est donnée par

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit la matrice

qui a la forme de Jordan

et la matrice de passage

d'inverse

Maintenant,

L'exponentielle de la matrice 1×1 J1(4) = [4] est simplement la matrice 1×1 [e4].

L'exponentielle de la matrice 2×2 J2(16) peut se calculer par la formule eλI+N = eλ eN mentionnée ci-dessus ; on obtient

d'où

Applications[modifier | modifier le code]

Équations différentielles linéaires[modifier | modifier le code]

Une des premières applications de l'exponentielle de matrices est la résolution des équations différentielles ordinaires. En effet, de l'équation ci-dessus, on déduit que la solution de :

A est une matrice, est donnée par

L'exponentielle d'une matrice peut aussi servir à résoudre les équations non homogènes :

En multipliant par eAt, nous avons

La résolution du système se ramène donc au calcul de eAt.

Il n'existe pas de solution explicite pour les équations différentielles de la forme :

A n'est pas constant, mais le développement de Magnus (en) donne la solution sous la forme d'une somme infinie.

Exemple (équation homogène)[modifier | modifier le code]

Soit le système

La matrice associée est

et son exponentielle est

La solution générale du système est donc

c'est-à-dire, en posant , et  :

Exemple (équation non homogène, variation de la constante)[modifier | modifier le code]

Pour une équation non homogène, on peut utiliser une méthode semblable à la variation de la constante.

Nous cherchons une solution de la forme yp(t)=exp(tA)z(t) :

Avec yp comme solution :

Alors,

c dépend des conditions initiales.

Exemple (non homogène)[modifier | modifier le code]

Soit le système

Nous avons donc

Comme auparavant, la somme de la solution homogène et de la solution particulière donne la solution générale. La solution homogène étant connue, il suffit de trouver la solution particulière.

expression qui peut être simplifiée pour obtenir la solution particulière cherchée.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Matrix exponential » (voir la liste des auteurs).

  1. Godement 1982, p. 263.
  2. Pour plus de termes, voir par exemple (en) Janusz Czyż, Paradoxes of Measures and Dimensions Originating in Felix Hausdorff's Ideas, World Scientific, (ISBN 978-9-81020189-0, lire en ligne), p. 421.

Bibliographie[modifier | modifier le code]