Exponentielle d'une matrice

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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, l'exponentielle d'une matrice est une fonction généralisant la fonction exponentielle aux matrices et aux endomorphismes par le calcul fonctionnel. Elle fait en particulier le pont entre un groupe de Lie et son algèbre de Lie.

Définition[modifier | modifier le code]

Théorème et définition — La série de matrices de terme général

converge normalement sur toute partie bornée de [1].

On appelle alors exponentielle l'application

.

Pour n = 1, on retrouve la définition de l'exponentielle complexe.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Sauf indication contraire, X, Yetc. désignent des matrices complexes (à coefficients complexes).

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

  • L'exponentielle de la matrice nulle est la matrice identité : .
  • est un polynôme en X[1].
  • .
  • Si est une matrice inversible, alors  ;
  • .
  • (formule de Trotter-Kato).

Transposition et conjugaison[modifier | modifier le code]

La transposée, la conjuguée et l'adjointe d'une matrice sont notées , et .

  • . Il s'ensuit que :
    • si est symétrique (), alors l'est aussi :  ;
    • si est antisymétrique () et réelle (à coefficients réels), alors est orthogonale : .
  • et donc, compte tenu de la propriété précédente :
  • . Il s'ensuit que :
    • si est hermitienne (), alors l'est aussi :  ;
    • si est antihermitienne (), alors est unitaire : .

Commutativité[modifier | modifier le code]

Le commutateur de X et Y est noté .

  • Si alors .
  • Plus généralement, en supposant seulement que commute avec et , (formule de Glauber).
  • Encore plus généralement, la formule de Baker-Campbell-Hausdorff donne l'expression de , plus précisément d'un logarithme de , par une série ne faisant intervenir que , et leurs commutateurs. Les premiers termes sont[5],[6] :

Application exponentielle[modifier | modifier le code]

Article connexe : Application exponentielle.

Application exponentielle de matrice : [modifier | modifier le code]

L'exponentielle d'une matrice est toujours inversible. L'inverse de est donné par . Cette fonction est donc une application de l'ensemble des matrices vers le groupe général linéaire, c'est-à-dire le groupe de toutes les matrices inversibles. Cette application est surjective.

Pour deux matrices X et Y, nous avons :

où || · || désigne une norme matricielle arbitraire. Il suit que l'application exponentielle est continue et lipschitzienne sur tout sous-ensemble compact de .

L'application est même de classe .

Sa différentielle en 0 est l'identité et elle réalise un difféomorphisme entre un voisinage de 0 et un voisinage de l'identité.

Application [modifier | modifier le code]

L'application :

définit une courbe de classe dans le groupe linéaire qui passe par l'identité en . Cette courbe est en fait un sous-groupe de Lie commutatif à un paramètre de puisque :

.

La dérivée de cette courbe au point t est donnée par :

(La dérivée au point est la matrice X, ce qui revient à dire que X engendre ce sous-groupe à un paramètre.)

En effet, plus généralement, la différentielle de l'application exponentielle en une matrice X est donnée par :

B désigne la fonction bêta, d'où :

.

Exemples physiques[modifier | modifier le code]

Rotation dans le plan[modifier | modifier le code]

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé, considérons la matrice de rotation d'angle  :

.

Alors :

est la matrice de rotation d'angle θ[7].

Transformation de Galilée[modifier | modifier le code]

Soit la matrice :

.

Alors :

est la matrice de transformation de Galilée dans le plan pour un déplacement de vitesse sur l'axe [7] : .

Transformation de Lorentz[modifier | modifier le code]

Soit la matrice :

.

Alors :

est la matrice de transformation de Lorentz dans le plan pour un déplacement de rapidité sur l'axe [7].

Rotations dans l'espace[modifier | modifier le code]

Soit un vecteur unitaire de cosinus directeurs ( avec ), et soit la matrice[a] :

.

Alors :

est la matrice de rotation d'angle autour d'un axe de vecteur unitaire [7].

Déformations[modifier | modifier le code]

En géologie structurale, on s'intéresse à la déformation finie résultant, au bout d'un certain temps, d'une déformation progressive[8] :

,
,

désigne le vecteur position par rapport à un point matériel arbitraire choisi comme origine (qui peut suivre n'importe quelle trajectoire entre les instants et ), la position initiale (à ) et la position finale (à ). est la « matrice de déformation finie » et la « matrice de déformation progressive ».

  • Si est une matrice constante , alors :
    .
  • Si varie mais commute avec sa dérivée [b], alors la formule précédente se généralise en[8],[c] :
    .
  • Dans le cas général on ne sait exprimer que sous la forme d'un développement en série[9],[d].

Calculs de l'exponentielle d'une matrice[modifier | modifier le code]

Le calcul d'une exponentielle de matrice n'est pas a priori un problème facile. Cependant, dans certains cas, et notamment ceux d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente, il ne présente aucune difficulté. Une fois cette remarque faite, le cas général peut se traiter en se ramenant aux deux cas précédents.

Matrice diagonalisable[modifier | modifier le code]

Si D est une matrice diagonale, c'est-à-dire :

,

alors son exponentielle est obtenue en calculant l'exponentielle de chacun des termes de la diagonale principale :

.


Si A est une matrice diagonalisable, c'est-à-dire :

D est diagonale, alors

.

L'application exponentielle préserve ainsi les espaces propres, soit les sous-espaces engendrés par les vecteurs colonnes de P.

De plus, les valeurs propres de eA sont les exponentielles de celles de A, soit les éléments de eD.

Matrice nilpotente[modifier | modifier le code]

Une matrice N est nilpotente si Nq = 0 pour un entier q. Dans ce cas, son exponentielle eN se calcule directement à partir de son développement en série, puisque celui-ci ne comporte alors qu'un nombre fini de termes :

.

Matrice quelconque[modifier | modifier le code]

Lorsque le polynôme minimal d'une matrice X est scindé (ce qui est en particulier toujours le cas pour les matrices à coefficients complexes), la décomposition de Dunford donne

  • A est diagonalisable ;
  • N est nilpotente ;
  • A commute avec N.

Dès lors, le calcul de l'exponentielle de X se réduit aux deux cas précédents :

.

On peut aussi faire appel à la réduction de Jordan : soit J la forme de Jordan de X, et P la matrice de passage. Alors,

.

Puisque

,
.

En conséquence, il faut seulement connaître la méthode pour calculer l'exponentielle d'un bloc de Jordan. Chacun est de la forme

N est une matrice nilpotente. L'exponentielle du bloc est donnée par

.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit la matrice

qui a la forme de Jordan

et la matrice de passage

,

d'inverse

.

Maintenant,

.

L'exponentielle de la matrice 1×1 J1(4) = [4] est simplement la matrice 1×1 [e4].

L'exponentielle de la matrice 2×2 J2(16) peut se calculer par la formule eλI+N = eλ eN mentionnée ci-dessus ; on obtient

,

d'où

.

Applications[modifier | modifier le code]

Équations différentielles linéaires[modifier | modifier le code]

Une des premières applications de l'exponentielle de matrices est la résolution des équations différentielles ordinaires. En effet, de l'équation ci-dessus, on déduit que la solution de :

,

A est une matrice, est donnée par

.

L'exponentielle d'une matrice peut aussi servir à résoudre les équations non homogènes :

.

En multipliant par eAt, nous avons

.

La résolution du système se ramène donc au calcul de eAt.

Il n'existe pas de solution explicite pour les équations différentielles de la forme :

A n'est pas constant, mais le développement de Magnus (en) donne la solution sous la forme d'une somme infinie.

Exemple (équation homogène)[modifier | modifier le code]

Soit le système

La matrice associée est

et son exponentielle est

La solution générale du système est donc

c'est-à-dire, en posant , et  :

Exemple (équation non homogène, variation de la constante)[modifier | modifier le code]

Pour une équation non homogène, on peut utiliser une méthode semblable à la variation de la constante.

Nous cherchons une solution de la forme yp(t) = exp(tA)z(t) :

Avec yp comme solution :

.

Alors,

c dépend des conditions initiales.

Exemple (non homogène)[modifier | modifier le code]

Soit le système

Nous avons donc

.

Comme auparavant, la somme de la solution homogène et de la solution particulière donne la solution générale. La solution homogène étant connue, il suffit de trouver la solution particulière.

expression qui peut être simplifiée pour obtenir la solution particulière cherchée.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Matrix exponential » (voir la liste des auteurs).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Cette matrice est celle qui permet d'écrire le produit vectoriel comme une application linéaire :
  2. C'est notamment le cas quand est proportionnelle à une matrice constante (), ou bien encore si elle est diagonale.
  3. Pour vérifier que cette expression est bien une (la) solution du système différentiel et des conditions initiales ci-dessus, il suffit de calculer en appliquant la définition de l'exponentielle d'une matrice : .
  4. On connaît une solution analytique fermée dans quelques rares cas où ne commute pas avec sa dérivée, notamment celui d'une matrice triangulaire[9].

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Voir par exemple le chapitre « Exponentielle d'une matrice » sur Wikiversité.
  2. C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition], vol. 1, p. 174-175 (en anglais sur Google Livres et p. 158-159 en allemand sur Google Livres).
  3. Albert Messiah, Mécanique quantique [détail des éditions], vol. 1, p. 442 de la traduction en anglais.
  4. Cohen-Tannoudji, Diu et Laloë, p. 171-172.
  5. Roger Godement, Introduction à la théorie des groupes de Lie, Springer, (ISBN 3-540-20034-7, lire en ligne), p. 263.
  6. Pour plus de termes, voir par exemple (en) Janusz Czyż, Paradoxes of Measures and Dimensions Originating in Felix Hausdorff's Ideas, World Scientific, (ISBN 978-9-81020189-0, lire en ligne), p. 421.
  7. a b c et d Jean-Pierre Provost et Gérard Vallée, Les maths en physique : La physique à travers le filtre des mathématiques, Éditions Dunod, coll. « Sciences Sup », , 1re éd., 331 p. (ISBN 2-10-004652-7), p. 101-102.
  8. a et b (en) Ariel Provost, Cécile Buisson et Olivier Merle, « From progressive to finite deformation and back », Journal of Geophysical Research: Solid Earth, vol. 109, no B2,‎ , p. 1-11, article no B02405 (DOI 10.1029/2001JB001734, lire en ligne).
  9. a et b Daniel Pham, Techniques du Calcul Matriciel, Paris, Dunod, , 387 p., p. 232-235.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-46713-6)
  • Xavier Merlin, Algèbre, Ellipses, coll. « Methodix », , 400 p. (ISBN 2729895558)
  • (en) Cleve Moler et Charles Van Loan, « Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix », SIAM Review, vol. 20, no 4,‎ (DOI 10.1137/1020098)
  • (en) Cleve Moler et Charles Van Loan, « Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later », SIAM Review, vol. 45, no 1,‎ (DOI 10.1137/S00361445024180)
  • (en) Roger B. Sidje, « Expokit: a software package for computing matrix exponentials », ACM TOMS, vol. 24, no 1,‎ (DOI 10.1145/285861.285868)Code source

Articles connexes[modifier | modifier le code]