Convergence normale

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En analyse, la convergence normale est l'un des modes de convergence d'une série de fonctions. Si est une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes définies sur un même ensemble X, la série de terme général converge normalement sur X s'il existe une suite de réels un tels que :

  1. pour tout n, est majorée par un sur X ;
  2. la série de terme général un converge.

La convergence normale d'une telle série implique sa convergence uniforme[1]. Par conséquent, tous les résultats qui concernent la convergence uniforme sont aussi valables pour la convergence normale. En particulier, si l'ensemble X est muni d'une topologie :

La somme d'une série de fonctions continues qui converge normalement est une fonction continue.

La convergence normale d'une série implique également sa convergence absolue en tout point.

A fortiori, la convergence normale d'une série implique sa convergence simple, autrement dit la convergence de la série en tout point.

Les implications réciproques sont fausses.

Histoire[modifier | modifier le code]

Cette notion a été introduite par Karl Weierstrass, et baptisée « convergence normale » par René Baire[2].

Espaces vectoriels normés[modifier | modifier le code]

Les fonctions bornées sur X à valeurs réelles ou complexes, munies de la norme infinie, forment un espace de Banach, c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet. La convergence normale d'une série de telles fonctions se réinterprète comme la convergence absolue dans cet espace : la série de terme général converge normalement sur X si

.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • La série de terme général converge normalement sur tout compact de R\Z.
[3].
  • Soit le produit de par la fonction indicatrice de l'intervalle . La série n'est pas normalement convergente () mais elle est uniformément convergente ().
  • Évoquer l'argument de convergence normale est une façon élégante de prouver la continuité de la courbe de Takagi.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jacques Dixmier, Topologie générale, PUF, (ISBN 2130366473, OCLC 417477300), p. 81, théorème 6.1.10.
  2. René Baire, Leçons sur les théories générales de l'analyse, t. 2, Paris, Gauthier-Villars, (lire en ligne), p. vii.
  3. (en) Reinhold Remmert, Theory of Complex Functions, Springer, (ISBN 978-0-387-97195-7, lire en ligne), p. 327.