Discussion:Exponentielle d'une matrice

Calculs de l'exponentielle d'une matrice (cas general)

Il me semble que la decomposition X = A + N n'existe pas necessairement dans le cas general, contrairement a ce qui est ecrit. Si l'on suit le lien vers la Décomposition de Dunford, une des hypotheses du theoreme est que la matrice (ou l'endomorphisme) admet un polynome minimal scinde (ce qui est une propriete forte !). L'article original en anglais fait la meme erreur (si c'en est une :) Solian (d) 2 avril 2008 à 19:01 (CEST)

Ben pour ce qu'en fait l'article, il suffit de se placer dans un corps de rupture du polynôme minimal, non ?--Dfeldmann (d) 10 juillet 2011 à 09:13 (CEST)

Propriété ?

Conviendrait-il de rajouter parmis les propriétés basiques que e^Id = e*Id ? Spoutnik16 13 avril 2008 à 13:42 (GMT+1))

calcul exponentielle de matrice

l'exponentielle de matrice du systeme diff homogene semble fausse: exp(0) ne fait pas l'identite — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Ikharg (discuter), le 24 juillet 2011 à 12:31.

Merci, j'ai cru rectifier à partir de la version anglaise mais elle est encore fausse. Je re-rectifierai après déjeuner. Anne Bauval (d) 24 juillet 2011 à 14:36 (CEST)

Organisation

J'ai rajouté quelques propriétés sur la régularité, mais je ne sais pas trop comment organiser tout ça.

Faut-il rajouter

• la différentielle de l'exponentielle : $D\exp(X)H=e^{X}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-adX)^{k}}{(k+1)!}}H$, où adX(H) = XH - HX ;

• les homéomorphismes entre les matrices nilpotentes et les unipotentes, entre les matrices symétriques (resp. hermitiennes) et les symétriques définies positives (resp. hermitiennes définies positives) ?

Référence : Rached Mneimné et Frédéric Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques, Hermann, coll. « Méthodes », 1986

Jaipasdepseudo (discuter) 6 septembre 2013 à 01:37 (CEST)

Une erreur dans un exemple

Athanatophobos ; 23 août 2015

Je pense qu'il y a, dans cet exemple, une erreur :

Soit la matrice

$B={\begin{pmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{pmatrix}}$

qui a la forme de Jordan

$J={\begin{pmatrix}16&1&0\\0&16&0\\0&0&4\end{pmatrix}}$

et la matrice de passage

$P={\begin{pmatrix}-1&1&{5 \over 8}\\1&-1&-{1 \over 8}\\0&2&0\end{pmatrix}}.$

Pour cette matrice P, il faudrait intervertir les première et dernière colonnes. En effet, le vecteur (-1;1;0) est un vecteur propre attaché à la valeur propre 4, alors que les vecteurs (1;-1;2) et (5/8;-1/8;0) appartiennent à Ker (f-16Id)². Je pense que l'erreur est due au fait que les valeurs propres de la forme de Jordan ne sont pas classées dans l'ordre croissant comme cela est fait habituellement.

Édit : finalement, j'ai juste interverti les colonnes de la matrice de passage. Je n'ai pas modifié la forme de Jordan car celle-ci intervient dans les calculs suivants et il aurait fallu tout refaire.

Démonstration de $\lim _{n\to +\infty }\left(I_{n}+{\frac {X}{n}}\right)^{n}=\exp {X}$

Avez vous une démonstration de ce théorème ? BlanchonJ (discuter) 9 février 2020 à 11:00 (CET)

Sachant que le résultat est ultra classique pour X scalaire (complexe), on commence par le démontrer pour X diagonalisable, puis on conclut par densité des matrices diagonalisables dans l’ensemble de toutes les matrices (technique au demeurant utilisable pour de nombreuses formules du même genre, comme le théorème de Cayley-Hamilton).—Dfeldmann (discuter) 9 février 2020 à 11:25 (CET)