Groupe spécial orthogonal

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En mathématiques, le groupe spécial orthogonal d'une forme quadratique est un sous-groupe de son groupe orthogonal. Il est constitué des éléments dont le déterminant est 1, en supposant que la forme quadratique est non dégénérée et que la caractéristique du corps de base est différente de 2.

Sur les réels à dimensions, on l'appelle couramment , et moins couramment , le deuxième paramètre de la notation étant le corps de base de ce groupe. On dit aussi que c'est le groupe des matrices de rotations à dimensions (autour de l'origine). Les réflexions (par rapport à un plan vectoriel) ont une structure très similaire, sauf que leur déterminant est –1 ; par conséquent, un nombre pair de telles réflexions est en soi une rotation (car les déterminants se multiplient et pour pair).

Sur un espace vectoriel à dimensions, les applications linéaires (identifiables aux matrices) forment elles-mêmes un espace à dimensions, mais parmi celles-ci, le groupe n'a que degrés de liberté. C'est pourquoi une rotation en 2 dimensions s'exprime par un nombre seul alors que pour une rotation en 3 dimensions, on doit utiliser 3 nombres (voir « Angles d'Euler »).

Groupe spécial orthogonal du plan euclidien[modifier | modifier le code]

Le groupe spécial orthogonal dans , c'est-à-dire le groupe , est le groupe des rotations vectorielles planes, homéomorphe au cercle unité.

Matriciellement, il s'écrit :

.