Nombre hexagonal centré

En mathématiques, un nombre hexagonal centré est un nombre figuré polygonal centré qui peut être représenté par un hexagone ayant un point placé en son centre et tous les autres formant des couches hexagonales concentriques.

Le n-ième nombre hexagonal centré est égal à 1 plus 6 fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire (ici, n = 5).

Les quatre premiers nombres hexagonaux centrés sont
1,
1 + 6 = 7,
7 + 12 = 19 et
19 + 18 = 37.

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre hexagonal centré (à n – 1 couches) s'obtient donc en ajoutant 1 au produit par 6 du (n – 1)-ième nombre triangulaire :

$C_{6,n}=1+6\ {\frac {n(n-1)}{2}}=3n^{2}-3n+1=n^{3}-(n-1)^{3}.$

Les quatorze premiers nombres hexagonaux centrés sont

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469 et 547 (suite A003215 de l'OEIS).

Le chiffre des unités en base dix de cette suite d'entiers suit le motif 1-7-9-7-1 (ils sont donc tous impairs).

Puisque le n-ième nombre hexagonal centré est le gnomon n³ – (n – 1)³, la somme des n premiers nombres hexagonaux centrés est n³. Ceci montre que les nombres pyramidaux hexagonaux centrés sont simplement les nombres cubiques, mais représentés par des formes différentes. Les nombres hexagonaux centrés premiers sont nombres premiers différences de deux cubes consécutifs, c'est-à-dire les nombres premiers cubains de première espèce.

Pour trouver les nombres hexagonaux centrés qui sont également des nombres triangulaires ou des nombres carrés, il suffit de résoudre les équations diophantiennes associées. Les cinq premiers nombres hexagonaux centrés triangulaires sont 1, 91, 8 911, 873 181, 85 562 821 (suite OEIS A006244 de l'OEIS) et les quatre premiers nombres hexagonaux centrés carrés sont 1, 169, 32 761, 6 355 441 (suite A006051 de l'OEIS).

Les nombres hexagonaux centrés ont des applications pratiques dans les domaines de la gestion de production et de la logistique, par exemple, dans l'empaquetage de certains produits dans de plus grands récipients circulaires, comme les saucisses de Francfort dans des conteneurs cylindriques.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Centered hexagonal number » (voir la liste des auteurs).