Projecteur (mathématiques)

En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes :

• une projection linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ;
• une application linéaire idempotente : elle vérifie p² = p.

Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale.

Définition de la projection vectorielle

Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : $x=x'+x'',(x',x'')\in F\times G$. La projection sur F parallèlement à G est alors l'application

${\begin{matrix}p:&E=F+G&\rightarrow E\\&x=x'+x''&\mapsto x'.\end{matrix}}$

Propriétés

Définie comme telle, l'application p est un endomorphisme, idempotent (p ∘ p = p), son image est Im(p) = F et son noyau est Ker(p) = G. Cet endomorphisme est diagonalisable.

Identification des projecteurs et des projections

On définit l'ensemble des projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant p² = p. On vient de voir que toute projection est un projecteur. On prouve maintenant la réciproque.

Théorème de caractérisation des projecteurs — Tout projecteur de E est une projection, précisément la projection sur Im(p) parallèlement à Ker(p). Notamment si p est un projecteur Im(p) et Ker(p) sont des sous-espaces supplémentaires.

Démonstration

• les deux espaces sont en somme directe : si x est dans leur intersection, x est de la forme p(y) et vérifie 0 = p(x) = p²(y) = p(y) = x.
• tout vecteur x de E se décompose, sous la forme (d'ailleurs unique) x = p(x) + [x – p(x)]. Le premier élément est dans Im(p), le second dans Ker(p).

Finalement « projecteurs » et « couples d'espaces vectoriels supplémentaires » se correspondent bijectivement.

Projecteur associé à un autre projecteur

La projection sur G parallèlement à F est l'application q = Id – p, appelé aussi projecteur associé à p.

L'image de q est alors le noyau de p, l'image de p est le noyau de q.

Projecteurs de même image

Deux endomorphismes p et r d'un même espace vectoriel sont des projecteurs de même image si et seulement si p ∘ r = r et r ∘ p = p.

Démonstration

• Si p et r sont des projecteurs de même image alors p ∘ r = r (car p vaut l'identité sur Imp, or Imp = Imr) et de même, r ∘ p = p.
• Réciproquement, si p ∘ r = r et r ∘ p = p alors p² = p ∘ (r ∘ p) = (p ∘ r) ∘ p = r ∘ p = p et Imr = Im(p ∘ r) ⊂ Imp et de même, r² = r et Imp ⊂ Imr.

Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires

Un espace vectoriel $E$ est somme directe de sous espaces vectoriels $E_{1},\cdots ,E_{n}$ si et seulement si pour tout $i\in \left\{1,\cdots ,n\right\}$ il existe des projecteurs $p_{i}:E\to E_{i}$ vérifiant : $\operatorname {Id} _{E}=p_{1}+\cdots +p_{n}$ et $p_{i}\circ p_{j}=0$ si $i\neq j$.

Symétries

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s² est l'identité (ne pas confondre avec endomorphisme symétrique).

• p est un projecteur si et seulement si 2p – Id est une symétrie vectorielle

La recherche des endomorphismes tels que p² = p, ou que s² = Id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u) = 0 pour P polynôme et u endomorphisme ; voir l'article polynôme d'endomorphisme pour des généralisations.

Projecteurs orthogonaux

• Dans un espace quadratique, en particulier dans un espace préhilbertien, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et seulement si $\operatorname {Ker} (p)=(\operatorname {Im} (p))^{\perp }$. On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.

Représentation matricielle en base adaptée

Tout projecteur est diagonalisable, avec comme seules valeurs propres 1 et 0.

En effet, si l'on pose ${\mathcal {B}}=(e_{1},\ldots ,e_{r},e_{r+1},\ldots ,e_{n})$ une base de E avec $e_{1},\ldots ,e_{r}$ des vecteurs de $\operatorname {Im} (p)$ et $e_{r+1},\ldots ,e_{n}$ des vecteurs de $\operatorname {Ker} (p)$ (ce qui est possible, car l'image et le noyau de p sont supplémentaires), alors la matrice de p dans cette base adaptée s'écrit :

$\mathrm {Mat} _{\mathcal {B}}(p)={\begin{pmatrix}\mathbf {I} _{r}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} _{n-r}\end{pmatrix}}.$

On a donc les propriétés suivantes :

• sur la diagonale apparaissent uniquement des 1 et des 0, et le nombre de 1 est égal au rang du projecteur ;
• les autres coefficients sont nuls.